Fonctions : 1er degré, 2e degré et fonctions de référence

Les fonctions du 1er degré (fonctions affines et linéaires)

Une fonction du 1er degré, aussi appelée fonction affine, est une fonction qui peut s'écrire sous la forme générale $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels. \\
• Le nombre $a$ est appelé le coefficient directeur ou la pente de la droite. Il indique la direction et l'inclinaison de la droite.\\
• Le nombre $b$ est appelé l'ordonnée à l'origine. C'est la valeur de $f(x)$ lorsque $x=0$, et c'est le point où la droite coupe l'axe des ordonnées (l'axe vertical).\\

Cas particuliers :\\
• Si $b=0$, la fonction est de la forme $f(x) = ax$. On l'appelle une fonction linéaire. Sa représentation graphique est une droite qui passe par l'origine du repère $(0,0)$.\\
• Si $a=0$, la fonction est de la forme $f(x) = b$. On l'appelle une fonction constante. Sa représentation graphique est une droite horizontale.

Méthode
Pour représenter graphiquement une fonction du 1er degré, qui est toujours une droite, il suffit de trouver les coordonnées de deux points de cette droite.
Choisissez deux valeurs différentes pour $x$ (par exemple $x=0$ et $x=1$).
Calculez les images $f(x)$ correspondantes en remplaçant $x$ dans l'expression de la fonction.
Placez ces deux points dans un repère cartésien.
Tracez la droite qui passe par ces deux points. Cette droite est la représentation graphique de la fonction.

Exemple
Représentez graphiquement la fonction $f(x) = -2x + 3$. Identifiez son coefficient directeur et son ordonnée à l'origine.

Corrigé pas à pas
La fonction est $f(x) = -2x + 3$. \\
• Le coefficient directeur est $a = -2$. \\
• L'ordonnée à l'origine est $b = 3$. \\

Pour tracer la droite, calculons deux points :\\
1. Si $x = 0$, alors $f(0) = -2(0) + 3 = 3$. Le premier point est $(0, 3)$.\\
2. Si $x = 1$, alors $f(1) = -2(1) + 3 = -2 + 3 = 1$. Le second point est $(1, 1)$.\\

Placez les points $(0, 3)$ et $(1, 1)$ dans un repère. Tracez la droite qui les relie. Cette droite descend de gauche à droite, ce qui est cohérent avec un coefficient directeur négatif ($a=-2$). Elle coupe l'axe des ordonnées au point $(0,3)$, ce qui est cohérent avec l'ordonnée à l'origine $b=3$.

Erreurs fréquentes
Confondre le coefficient directeur $a$ avec l'ordonnée à l'origine $b$.
Faire des erreurs de calcul lors de la détermination des images des points.
Ne pas prolonger la droite sur tout le repère, ou ne pas utiliser une règle pour tracer une droite bien droite.
Oublier que si $a>0$, la droite monte (fonction croissante) et si $a<0$, la droite descend (fonction décroissante).

Les fonctions du 2e degré (fonctions quadratiques)

Une fonction du 2e degré, aussi appelée fonction quadratique, est une fonction qui peut s'écrire sous la forme générale $f(x) = ax^2 + bx + c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels, et $a \neq 0$. \\

La représentation graphique d'une fonction du 2e degré est une courbe appelée parabole.\\
• Si $a > 0$, la parabole est ouverte vers le haut (elle a la forme d'un 'U').\\
• Si $a < 0$, la parabole est ouverte vers le bas (elle a la forme d'un 'U' inversé).\\

Le point le plus bas (si $a>0$) ou le plus haut (si $a<0$) de la parabole est appelé le sommet. La parabole est symétrique par rapport à une droite verticale passant par son sommet, appelée l'axe de symétrie.

Méthode
Pour représenter graphiquement une fonction du 2e degré, il faut calculer plusieurs points pour bien dessiner la courbe.
Choisissez plusieurs valeurs pour $x$, y compris des valeurs négatives, positives et $0$. Il est souvent utile de choisir des valeurs symétriques autour de l'abscisse du sommet.
Calculez les images $f(x)$ correspondantes pour chaque valeur de $x$.
Placez ces points dans un repère cartésien.
Reliez les points par une courbe lisse et régulière, en respectant la forme de la parabole (ouverte vers le haut ou vers le bas).
Le sommet de la parabole a pour abscisse $x_S = -\frac{b}{2a}$. L'ordonnée du sommet est $y_S = f(x_S)$. L'axe de symétrie est la droite verticale d'équation $x = x_S$.

Exemple
Représentez graphiquement la fonction $f(x) = x^2 - 2x - 3$. Déterminez le sens d'ouverture de la parabole et les coordonnées de son sommet.

Corrigé pas à pas
La fonction est $f(x) = x^2 - 2x - 3$. Ici, $a=1$, $b=-2$, $c=-3$. \\

1. Sens d'ouverture : Comme $a=1 > 0$, la parabole est ouverte vers le haut.\\

2. Coordonnées du sommet :\\
• Abscisse du sommet : $x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(1)} = \frac{2}{2} = 1$. \\
• Ordonnée du sommet : $y_S = f(1) = (1)^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$. \\
Le sommet est donc au point $(1, -4)$. L'axe de symétrie est la droite $x=1$.\\

3. Tableau de valeurs pour le tracé : Choisissons des points autour du sommet $x=1$.\\
• $f(-2) = (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 \implies (-2, 5)$\\
• $f(-1) = (-1)^2 - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0 \implies (-1, 0)$\\
• $f(0) = (0)^2 - 2(0) - 3 = -3 \implies (0, -3)$\\
• $f(1) = -4 \implies (1, -4)$ (le sommet)\\
• $f(2) = (2)^2 - 2(2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3 \implies (2, -3)$\\
• $f(3) = (3)^2 - 2(3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0 \implies (3, 0)$\\
• $f(4) = (4)^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 \implies (4, 5)$\\

4. Tracé : Placez ces points dans un repère et reliez-les par une courbe régulière en forme de 'U' ouvert vers le haut, avec le sommet en $(1, -4)$.

Erreurs fréquentes
Ne pas tracer une courbe lisse mais des segments de droite, ce qui ne représente pas une parabole.
Oublier que la parabole est symétrique par rapport à l'axe de symétrie.
Faire des erreurs de signe ou de calcul en utilisant la formule de l'abscisse du sommet $x_S = -b/(2a)$.
Confondre le sens d'ouverture de la parabole (vers le haut si $a>0$, vers le bas si $a<0$).

Les fonctions de référence

Les fonctions de référence sont des fonctions de base dont il est important de connaître l'expression algébrique, le domaine de définition et la forme générale de la représentation graphique. Elles servent de modèles pour comprendre des fonctions plus complexes.\\

Voici les principales fonctions de référence étudiées à ce niveau :\\
1. Fonction identité : $f(x) = x$\\
• Domaine de définition : Tous les nombres réels ($\mathbb{R}$).\\
• Graphique : Une droite qui passe par l'origine $(0,0)$ et par les points $(1,1)$, $(2,2)$, etc. C'est la première bissectrice.\\
2. Fonction carré : $f(x) = x^2$\\
• Domaine de définition : Tous les nombres réels ($\mathbb{R}$).\\
• Graphique : Une parabole ouverte vers le haut, dont le sommet est à l'origine $(0,0)$. Elle est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.\\
3. Fonction inverse : $f(x) = \frac{1}{x}$\\
Domaine de définition : Tous les nombres réels sauf $0$ ($\mathbb{R}^$ ou $]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[$). On ne peut pas diviser par zéro.\\
• Graphique : Une hyperbole composée de deux branches. Elle ne coupe jamais les axes des abscisses et des ordonnées.\\
4. Fonction racine carrée : $f(x) = \sqrt{x}$\\
• Domaine de définition : Tous les nombres réels positifs ou nuls ($[0, +\infty[$). On ne peut pas calculer la racine carrée d'un nombre négatif.\\
• Graphique : Une demi-parabole horizontale qui commence à l'origine $(0,0)$ et s'étend vers la droite.\\
5. Fonction valeur absolue : $f(x) = |x|$\\
• Domaine de définition : Tous les nombres réels ($\mathbb{R}$).\\
• Graphique : Une courbe en forme de 'V' dont le sommet est à l'origine $(0,0)$. Elle est composée de deux demi-droites : $y=x$ pour $x \ge 0$ et $y=-x$ pour $x < 0$.

Méthode
Pour travailler avec les fonctions de référence, il est essentiel de :
Connaître par cœur leur expression algébrique ($x$, $x^2$, $1/x$, $\sqrt{x}$, $|x|$).
Mémoriser leur domaine de définition, car il détermine les valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction est définie.
Savoir reconnaître la forme générale de leur graphique pour pouvoir l'associer à l'expression algébrique correspondante.

Exemple
Associez chaque description de graphique à la fonction de référence correspondante :\\
1. Une droite passant par l'origine avec une pente de 1.\\
2. Une courbe en forme de 'U' dont le sommet est à l'origine.\\
3. Une courbe en forme de 'V' dont le sommet est à l'origine.\\
4. Une courbe composée de deux branches qui ne touchent jamais les axes.\\
5. Une courbe qui commence à l'origine et s'étend vers la droite, ressemblant à une demi-parabole horizontale.

Corrigé pas à pas
1. Une droite passant par l'origine avec une pente de 1 : C'est la fonction identité $f(x) = x$.\\
2. Une courbe en forme de 'U' dont le sommet est à l'origine : C'est la fonction carré $f(x) = x^2$.\\
3. Une courbe en forme de 'V' dont le sommet est à l'origine : C'est la fonction valeur absolue $f(x) = |x|$.\\
4. Une courbe composée de deux branches qui ne touchent jamais les axes : C'est la fonction inverse $f(x) = \frac{1}{x}$.\\
5. Une courbe qui commence à l'origine et s'étend vers la droite, ressemblant à une demi-parabole horizontale : C'est la fonction racine carrée $f(x) = \sqrt{x}$.

Erreurs fréquentes
Confondre les graphiques des fonctions de référence, par exemple la parabole de $x^2$ avec la forme en 'V' de $|x|$.
Oublier les restrictions du domaine de définition pour la fonction inverse ($x \neq 0$) et la fonction racine carrée ($x \ge 0$).
Ne pas savoir associer l'expression algébrique à son nom ou à son graphique.

Tracer la représentation graphique d'une fonction du 1er degré

1. Identifiez la fonction du 1er degré sous la forme $f(x) = ax + b$.
2. Choisissez deux valeurs distinctes pour $x$. Les valeurs $x=0$ et $x=1$ sont souvent les plus simples.
3. Calculez les images $f(x)$ correspondantes pour ces deux valeurs de $x$. Cela vous donnera les coordonnées de deux points $(x_1, f(x_1))$ et $(x_2, f(x_2))$.
4. Placez ces deux points dans un repère cartésien.
5. À l'aide d'une règle, tracez la droite qui passe par ces deux points. Cette droite est la représentation graphique de la fonction.

Exemple
Tracez la représentation graphique de la fonction $f(x) = 3x - 2$.

Corrigé pas à pas
1. La fonction est $f(x) = 3x - 2$.\\
2. Choisissons $x=0$ et $x=1$.\\
3. Calculons les images :\\
• Pour $x=0$, $f(0) = 3(0) - 2 = -2$. Le premier point est $(0, -2)$.\\
• Pour $x=1$, $f(1) = 3(1) - 2 = 1$. Le second point est $(1, 1)$.\\
4. Placez les points $(0, -2)$ et $(1, 1)$ dans un repère.\\
5. Tracez la droite passant par $(0, -2)$ et $(1, 1)$. C'est la droite représentative de $f(x)$.

Déterminer l'équation d'une fonction du 1er degré à partir de deux points

1. Soient deux points $A(x_1, y_1)$ et $B(x_2, y_2)$ par lesquels la droite passe.
2. Calculez le coefficient directeur $a$ en utilisant la formule : $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
3. Utilisez l'un des points (par exemple $A(x_1, y_1)$) et la valeur de $a$ que vous venez de trouver pour déterminer l'ordonnée à l'origine $b$. Remplacez $x$, $y$ et $a$ dans l'équation $y = ax + b$ et résolvez pour $b$.
4. Écrivez l'équation complète de la fonction sous la forme $f(x) = ax + b$ avec les valeurs de $a$ et $b$ trouvées.

Exemple
Déterminez l'équation de la fonction du 1er degré dont la représentation graphique passe par les points $A(2, 5)$ et $B(-1, -4)$.

Corrigé pas à pas
1. Les points sont $A(x_1=2, y_1=5)$ et $B(x_2=-1, y_2=-4)$.\\
2. Calculons le coefficient directeur $a$ :\\
$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4 - 5}{-1 - 2} = \frac{-9}{-3} = 3$.\\
3. L'équation est de la forme $y = 3x + b$. Utilisons le point $A(2, 5)$ pour trouver $b$ :\\
$5 = 3(2) + b$\\
$5 = 6 + b$\\
$b = 5 - 6 = -1$. \\
4. L'équation de la fonction est donc $f(x) = 3x - 1$.

Déterminer les coordonnées du sommet d'une parabole

1. Identifiez la fonction du 2e degré sous la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$. Notez les valeurs de $a$, $b$ et $c$. Assurez-vous que $a \neq 0$.
2. Calculez l'abscisse du sommet $x_S$ en utilisant la formule : $x_S = -\frac{b}{2a}$.
3. Calculez l'ordonnée du sommet $y_S$ en remplaçant la valeur de $x_S$ dans l'expression de la fonction : $y_S = f(x_S)$.
4. Les coordonnées du sommet sont $(x_S, y_S)$.

Exemple
Déterminez les coordonnées du sommet de la parabole représentative de la fonction $f(x) = -2x^2 + 8x - 5$.

Corrigé pas à pas
1. La fonction est $f(x) = -2x^2 + 8x - 5$. Nous avons $a=-2$, $b=8$, $c=-5$.\\
2. Calculons l'abscisse du sommet $x_S$ :\\
$x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$.\\
3. Calculons l'ordonnée du sommet $y_S$ :\\
$y_S = f(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 5 = -2(4) + 16 - 5 = -8 + 16 - 5 = 3$. \\
4. Les coordonnées du sommet de la parabole sont $(2, 3)$.

Fonctions du 1er degré

• Forme générale : $f(x) = ax + b$
• Graphique : une droite
• $a$ : coefficient directeur (pente)
• $b$ : ordonnée à l'origine (point d'intersection avec l'axe y)
• Si $a>0$, fonction croissante ; si $a<0$, fonction décroissante.
• Si $b=0$, fonction linéaire ($f(x)=ax$), passe par $(0,0)$.
• Si $a=0$, fonction constante ($f(x)=b$), droite horizontale.

Fonctions du 2e degré

• Forme générale : $f(x) = ax^2 + bx + c$ (avec $a \neq 0$)
• Graphique : une parabole
• Si $a>0$, parabole ouverte vers le haut.
• Si $a<0$, parabole ouverte vers le bas.
• Sommet de la parabole : $(x_S, y_S)$ avec $x_S = -\frac{b}{2a}$ et $y_S = f(x_S)$.

Fonctions de référence

• Identité : $f(x) = x$, Domaine $\mathbb{R}$, droite passant par $(0,0)$ et $(1,1)$.
• Carré : $f(x) = x^2$, Domaine $\mathbb{R}$, parabole ouverte vers le haut, sommet $(0,0)$.
• Inverse : $f(x) = \frac{1}{x}$, Domaine $\mathbb{R}^*$, hyperbole (deux branches, ne coupe pas les axes).
• Racine carrée : $f(x) = \sqrt{x}$, Domaine $[0, +\infty[$, demi-parabole horizontale partant de $(0,0)$.
• Valeur absolue : $f(x) = |x|$, Domaine $\mathbb{R}$, courbe en 'V', sommet $(0,0)$.