Équations du premier degré

Qu'est-ce qu'une équation du premier degré ?

Une équation est une égalité qui contient une ou plusieurs inconnues (souvent représentées par des lettres comme $x$, $y$, etc.). Le but est de trouver la ou les valeurs de l'inconnue qui rendent cette égalité vraie. On dit qu'une équation est du premier degré si l'inconnue n'est pas élevée à une puissance supérieure à 1 (il n'y a pas de $x^2$, $x^3$, etc.).

Une équation est composée de deux parties appelées membres :
- Le membre de gauche (tout ce qui est avant le signe égal).
- Le membre de droite (tout ce qui est après le signe égal).

La valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie est appelée la solution de l'équation.

Exemple
Considérons l'équation $2x + 3 = 7$. Identifiez l'inconnue, le membre de gauche et le membre de droite.

Corrigé pas à pas
Dans l'équation $2x + 3 = 7$ :
- L'inconnue est $x$.
- Le membre de gauche est $2x + 3$.
- Le membre de droite est $7$.

Si nous essayons de remplacer $x$ par $2$, nous obtenons $2 \times 2 + 3 = 4 + 3 = 7$. L'égalité $7 = 7$ est vraie. Donc, $x=2$ est la solution de cette équation.

Erreurs fréquentes
Confondre une expression algébrique (comme $2x+3$) avec une équation. Une équation contient toujours un signe égal.
Oublier que le but est de trouver une valeur numérique pour l'inconnue, pas de simplifier une expression.

Les principes d'équivalence pour résoudre une équation

Pour résoudre une équation, c'est-à-dire trouver la valeur de l'inconnue, nous utilisons des principes d'équivalence. Ces principes permettent de transformer l'équation en une autre équation qui a la même solution, jusqu'à ce que l'inconnue soit isolée.

Imaginez une équation comme une balance à plateaux. Pour qu'elle reste en équilibre, toute opération effectuée sur un plateau doit être effectuée de la même manière sur l'autre plateau.

Il existe deux principes fondamentaux :
1. Addition et Soustraction : On peut ajouter ou soustraire le même nombre (ou la même expression) aux deux membres d'une équation sans changer sa solution.
• Si $A = B$, alors $A + C = B + C$ et $A - C = B - C$.
2. Multiplication et Division : On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une équation par le même nombre non nul sans changer sa solution.
• Si $A = B$, alors $A \times C = B \times C$ et $\frac{A}{C} = \frac{B}{C}$ (avec $C \neq 0$).

Méthode
Étape 1 : Regrouper tous les termes contenant l'inconnue ($x$) dans un membre de l'équation (généralement le membre de gauche). Pour cela, ajoutez ou soustrayez les termes appropriés aux deux membres.
Étape 2 : Regrouper tous les termes constants (les nombres sans $x$) dans l'autre membre (généralement le membre de droite). Pour cela, ajoutez ou soustrayez les termes appropriés aux deux membres.
Étape 3 : Simplifier chaque membre de l'équation en effectuant les calculs nécessaires.
Étape 4 : Isoler l'inconnue en divisant les deux membres de l'équation par le coefficient de l'inconnue (le nombre qui multiplie $x$).
Étape 5 : Vérifier la solution en remplaçant l'inconnue par la valeur trouvée dans l'équation de départ. Si l'égalité est vraie, la solution est correcte.

Exemple
Résolvez l'équation $5x - 7 = 2x + 8$.

Corrigé pas à pas
Nous allons suivre les étapes :

Étape 1 : Regrouper les termes en $x$ dans le membre de gauche.
Pour cela, nous allons soustraire $2x$ aux deux membres de l'équation :
$5x - 7 - 2x = 2x + 8 - 2x$
$3x - 7 = 8$

Étape 2 : Regrouper les termes constants dans le membre de droite.
Pour cela, nous allons ajouter $7$ aux deux membres de l'équation :
$3x - 7 + 7 = 8 + 7$
$3x = 15$

Étape 3 : Simplifier chaque membre.
C'est déjà fait : $3x$ à gauche et $15$ à droite.

Étape 4 : Isoler l'inconnue.
Le coefficient de $x$ est $3$. Nous allons diviser les deux membres par $3$ :
$\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$
$x = 5$

Étape 5 : Vérifier la solution.
Nous remplaçons $x$ par $5$ dans l'équation de départ :
Membre de gauche : $5x - 7 = 5 \times 5 - 7 = 25 - 7 = 18$
Membre de droite : $2x + 8 = 2 \times 5 + 8 = 10 + 8 = 18$
Les deux membres sont égaux à $18$. La solution $x=5$ est donc correcte.

Erreurs fréquentes
Oublier d'appliquer une opération (addition, soustraction, multiplication, division) aux deux membres de l'équation. C'est la cause la plus fréquente d'erreur !
Faire des erreurs de signe lors du déplacement des termes (par exemple, transformer $x+3$ en $x-3$ de l'autre côté au lieu de $x-3$).
Diviser par le coefficient de $x$ alors que ce coefficient est $0$ (cela arrive dans des cas particuliers, mais pas pour les équations du premier degré classiques).

Résoudre des équations avec parenthèses ou fractions

Certaines équations du premier degré peuvent contenir des parenthèses ou des fractions. Avant d'appliquer les principes d'équivalence, il faut d'abord simplifier l'écriture de l'équation.

Méthode
Étape 1 : Supprimer les parenthèses. Utilisez la propriété de distributivité pour développer les expressions avec parenthèses.
Étape 2 : Gérer les fractions (si présentes). Trouvez un dénominateur commun à toutes les fractions de l'équation. Multipliez ensuite tous les termes de l'équation par ce dénominateur commun pour éliminer les fractions.
Étape 3 : Regrouper les termes en $x$ et les termes constants. Appliquez les principes d'équivalence (addition/soustraction) pour isoler les $x$ dans un membre et les constantes dans l'autre.
Étape 4 : Simplifier et isoler l'inconnue. Effectuez les calculs et divisez par le coefficient de $x$.
Étape 5 : Vérifier la solution.

Exemple
Résolvez l'équation $3(x - 2) + 5 = 2x + 7$.

Corrigé pas à pas
Nous allons suivre les étapes :

Étape 1 : Supprimer les parenthèses.
Utilisons la distributivité pour $3(x - 2)$ :
$3 \times x - 3 \times 2 + 5 = 2x + 7$
$3x - 6 + 5 = 2x + 7$
$3x - 1 = 2x + 7$

Étape 2 : Gérer les fractions.
Il n'y a pas de fractions dans cette équation, nous passons à l'étape suivante.

Étape 3 : Regrouper les termes en $x$ et les termes constants.
Soustrayons $2x$ aux deux membres pour regrouper les $x$ à gauche :
$3x - 1 - 2x = 2x + 7 - 2x$
$x - 1 = 7$
Ajoutons $1$ aux deux membres pour regrouper les constantes à droite :
$x - 1 + 1 = 7 + 1$
$x = 8$

Étape 4 : Simplifier et isoler l'inconnue.
L'inconnue est déjà isolée : $x = 8$.

Étape 5 : Vérifier la solution.
Remplacez $x$ par $8$ dans l'équation de départ :
Membre de gauche : $3(8 - 2) + 5 = 3(6) + 5 = 18 + 5 = 23$
Membre de droite : $2(8) + 7 = 16 + 7 = 23$
Les deux membres sont égaux à $23$. La solution $x=8$ est correcte.

Erreurs fréquentes
Oublier de distribuer le nombre devant la parenthèse à tous les termes à l'intérieur de la parenthèse (par exemple, $3(x-2)$ devient $3x-2$ au lieu de $3x-6$).
Erreurs de signe lors de la distributivité, surtout avec un signe moins devant la parenthèse (par exemple, $-(x-2)$ devient $-x-2$ au lieu de $-x+2$).
Oublier de multiplier tous les termes de l'équation (y compris les termes qui ne sont pas des fractions) par le dénominateur commun.

Isoler l'inconnue dans une équation du type $ax + b = c$

1. Étape 1 : Déplacez le terme constant $b$ du membre de gauche vers le membre de droite. Pour cela, soustrayez $b$ aux deux membres de l'équation.
2. Étape 2 : Divisez les deux membres de l'équation par le coefficient $a$ (le nombre qui multiplie $x$) pour isoler $x$.

Exemple
Résolvez l'équation $3x + 4 = 19$.

Corrigé pas à pas
Étape 1 : Déplacer le terme constant.
Soustrayez $4$ aux deux membres :
$3x + 4 - 4 = 19 - 4$
$3x = 15$

Étape 2 : Diviser par le coefficient de $x$.
Divisez les deux membres par $3$ :
$\frac{3x}{3} = \frac{15}{3}$
$x = 5$

Résoudre une équation du type $ax + b = cx + d$

1. Étape 1 : Regroupez tous les termes contenant l'inconnue ($x$) dans un membre (par exemple, le membre de gauche). Pour cela, soustrayez $cx$ aux deux membres de l'équation.
2. Étape 2 : Regroupez tous les termes constants (les nombres sans $x$) dans l'autre membre (par exemple, le membre de droite). Pour cela, soustrayez $b$ aux deux membres de l'équation.
3. Étape 3 : Simplifiez chaque membre de l'équation.
4. Étape 4 : Isolez l'inconnue en divisant les deux membres par le coefficient de $x$.

Exemple
Résolvez l'équation $7x - 5 = 3x + 11$.

Corrigé pas à pas
Étape 1 : Regrouper les termes en $x$ à gauche.
Soustrayez $3x$ aux deux membres :
$7x - 5 - 3x = 3x + 11 - 3x$
$4x - 5 = 11$

Étape 2 : Regrouper les termes constants à droite.
Ajoutez $5$ aux deux membres :
$4x - 5 + 5 = 11 + 5$
$4x = 16$

Étape 3 : Simplifier chaque membre.
C'est déjà fait.

Étape 4 : Isoler l'inconnue.
Divisez les deux membres par $4$ :
$\frac{4x}{4} = \frac{16}{4}$
$x = 4$

Résoudre une équation avec des parenthèses

1. Étape 1 : Supprimez les parenthèses en utilisant la propriété de distributivité. Multipliez le nombre devant la parenthèse par chaque terme à l'intérieur de la parenthèse.
2. Étape 2 : Simplifiez les expressions dans chaque membre de l'équation, si nécessaire.
3. Étape 3 : Appliquez la méthode de résolution d'une équation sans parenthèses : regroupez les termes en $x$ dans un membre et les termes constants dans l'autre.
4. Étape 4 : Isolez l'inconnue en divisant par son coefficient.

Exemple
Résolvez l'équation $4(x - 3) = 2x + 6$.

Corrigé pas à pas
Étape 1 : Supprimer les parenthèses.
Distribuez le $4$ :
$4 \times x - 4 \times 3 = 2x + 6$
$4x - 12 = 2x + 6$

Étape 2 : Simplifier les expressions.
C'est déjà fait.

Étape 3 : Regrouper les termes en $x$ et les constantes.
Soustrayez $2x$ aux deux membres :
$4x - 12 - 2x = 2x + 6 - 2x$
$2x - 12 = 6$
Ajoutez $12$ aux deux membres :
$2x - 12 + 12 = 6 + 12$
$2x = 18$

Étape 4 : Isoler l'inconnue.
Divisez les deux membres par $2$ :
$\frac{2x}{2} = \frac{18}{2}$
$x = 9$

Définition d'une équation du premier degré

• Une équation est une égalité avec une ou plusieurs inconnues (souvent $x$).
• Le but est de trouver la solution, c'est-à-dire la valeur de l'inconnue qui rend l'égalité vraie.
• Premier degré signifie que l'inconnue n'est pas élevée à une puissance supérieure à 1 (pas de $x^2$, $x^3$).
• Une équation a un membre de gauche et un membre de droite.

Principes d'équivalence

• On peut ajouter ou soustraire le même nombre aux deux membres d'une équation.
• On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une équation par le même nombre NON NUL.
• Ces opérations permettent de transformer l'équation en une équation équivalente (avec la même solution) jusqu'à isoler l'inconnue.

Étapes clés pour résoudre une équation du premier degré

• 1. Simplifier chaque membre (supprimer les parenthèses, gérer les fractions).
• 2. Regrouper tous les termes avec l'inconnue ($x$) dans un membre et tous les termes constants dans l'autre membre.
• 3. Simplifier les expressions obtenues dans chaque membre.
• 4. Isoler l'inconnue en divisant par son coefficient.
• 5. Vérifier la solution dans l'équation de départ.