Calcul littéral : réduire, développer, factoriser

Réduire une expression littérale

Réduire une expression littérale, c'est la simplifier en regroupant les termes de même "famille". Une famille de termes est composée de termes qui ont la même partie littérale (la même lettre ou le même groupe de lettres avec les mêmes exposants). Par exemple, $3x$ et $5x$ sont de la même famille (famille des $x$), mais $3x$ et $5x^2$ ne le sont pas (famille des $x$ et famille des $x^2$). Les nombres seuls sont aussi une famille (la famille des constantes).

Méthode
Identifier les différentes familles de termes dans l'expression.
Regrouper les termes de chaque famille, en veillant à conserver le signe qui les précède.
Additionner ou soustraire les coefficients (les nombres devant les lettres) de chaque famille, en respectant les règles de calcul avec les nombres relatifs.

Exemple
Réduis l'expression suivante : $A = 7x + 4 - 2x + 9$

Corrigé pas à pas
1. Identifions les familles :
- Famille des $x$ : $7x$ et $-2x$
- Famille des constantes (nombres seuls) : $+4$ et $+9$
2. Regroupons les termes :
$A = (7x - 2x) + (4 + 9)$
3. Calculons les coefficients :
$A = (7 - 2)x + (4 + 9)$
$A = 5x + 13$

Erreurs fréquentes
Mélanger des termes qui ne sont pas de la même famille (par exemple, additionner des $x$ avec des $x^2$).
Oublier le signe devant un terme lors du regroupement.
Faire des erreurs dans l'addition ou la soustraction des nombres relatifs.

Développer une expression littérale

Développer une expression littérale, c'est transformer un produit en une somme ou une différence. On utilise pour cela la distributivité.
- La distributivité simple consiste à multiplier un terme par chaque terme à l'intérieur d'une parenthèse.
- La distributivité double consiste à multiplier chaque terme d'une parenthèse par chaque terme d'une autre parenthèse.

Méthode
Distributivité simple : Pour une expression de la forme $k(a+b)$, on multiplie $k$ par $a$, puis $k$ par $b$. On obtient $ka + kb$. Attention aux signes !
Distributivité double : Pour une expression de la forme $(a+b)(c+d)$, on multiplie $a$ par $c$, puis $a$ par $d$, puis $b$ par $c$, et enfin $b$ par $d$. On obtient $ac + ad + bc + bd$.
Après avoir développé, il faut souvent réduire l'expression obtenue en regroupant les termes de même famille.

Exemple
Développe et réduis les expressions suivantes :
a) $C = 4(x + 3)$
b) $D = (x + 2)(x - 5)$

Corrigé pas à pas
a) $C = 4(x + 3)$
On applique la distributivité simple :
$C = 4 \times x + 4 \times 3$
$C = 4x + 12$
b) $D = (x + 2)(x - 5)$
On applique la distributivité double :
$D = x \times x + x \times (-5) + 2 \times x + 2 \times (-5)$
$D = x^2 - 5x + 2x - 10$
Maintenant, on réduit l'expression :
$D = x^2 + (-5 + 2)x - 10$
$D = x^2 - 3x - 10$

Erreurs fréquentes
Oublier de distribuer le terme extérieur à tous les termes à l'intérieur de la parenthèse (distributivité simple).
Faire des erreurs de signe, surtout avec les nombres négatifs.
Oublier de réduire l'expression après le développement.
Dans la distributivité double, oublier une des quatre multiplications.

Factoriser une expression littérale

Factoriser une expression littérale, c'est transformer une somme ou une différence en un produit. C'est l'opération inverse du développement. Pour factoriser au niveau 2e secondaire, on utilise principalement la méthode de la mise en évidence d'un facteur commun.

Méthode
Identifier les différents termes de l'expression.
Chercher un facteur commun (un nombre, une lettre, ou un produit de nombres et de lettres) qui est présent dans tous les termes de l'expression. Ce facteur commun doit être le plus grand possible.
Écrire ce facteur commun devant une parenthèse.
À l'intérieur de la parenthèse, écrire ce qui reste de chaque terme après avoir "enlevé" le facteur commun (c'est-à-dire, diviser chaque terme par le facteur commun).

Exemple
Factorise les expressions suivantes :
a) $F = 5x + 10$
b) $G = 3y^2 - 6y$

Corrigé pas à pas
a) $F = 5x + 10$
1. Les termes sont $5x$ et $10$.
2. Le facteur commun est $5$ (car $10 = 5 \times 2$).
3. On écrit $5$ devant la parenthèse.
4. Dans la parenthèse, il reste $x$ pour le premier terme ($5x \div 5 = x$) et $2$ pour le second terme ($10 \div 5 = 2$).
$F = 5(x + 2)$
b) $G = 3y^2 - 6y$
1. Les termes sont $3y^2$ et $-6y$.
2. Le facteur commun est $3y$ (car $3y^2 = 3y \times y$ et $-6y = 3y \times (-2)$).
3. On écrit $3y$ devant la parenthèse.
4. Dans la parenthèse, il reste $y$ pour le premier terme ($3y^2 \div 3y = y$) et $-2$ pour le second terme ($-6y \div 3y = -2$).
$G = 3y(y - 2)$

Erreurs fréquentes
Ne pas trouver le plus grand facteur commun (par exemple, factoriser par $2$ au lieu de $4$).
Oublier un terme dans la parenthèse après la factorisation.
Faire des erreurs de signe lors de la division par le facteur commun.
Penser qu'il faut toujours factoriser, même quand il n'y a pas de facteur commun évident.

Réduire une somme algébrique

1. Identifier les familles de termes : Repère les termes qui ont la même partie littérale (ex: $x$, $x^2$, $xy$, ou les nombres seuls). Utilise des couleurs ou des symboles différents pour les distinguer.
2. Regrouper les termes : Écris les termes de chaque famille côte à côte, en veillant à conserver le signe qui les précède.
3. Calculer les coefficients : Pour chaque famille, additionne ou soustrais les coefficients (les nombres devant les lettres) en appliquant les règles de calcul des nombres relatifs.

Exemple
Réduis l'expression : $K = 5x^2 - 3x + 2x^2 + 7x - 1$

Corrigé pas à pas
1. Identifier les familles de termes :
- Famille des $x^2$ : $5x^2$ et $+2x^2$
- Famille des $x$ : $-3x$ et $+7x$
- Famille des constantes : $-1$
2. Regrouper les termes :
$K = (5x^2 + 2x^2) + (-3x + 7x) - 1$
3. Calculer les coefficients :
$K = (5 + 2)x^2 + (-3 + 7)x - 1$
$K = 7x^2 + 4x - 1$

Développer une expression avec la distributivité simple

1. Identifier le facteur et la somme/différence : Repère le terme seul (le facteur) et les termes à l'intérieur de la parenthèse (la somme ou la différence).
2. Multiplier le facteur par chaque terme : Multiplie le facteur extérieur à la parenthèse par chacun des termes à l'intérieur de la parenthèse.
3. Appliquer la règle des signes : Fais attention aux signes lors de chaque multiplication. Rappelle-toi : $(+) \times (+) = (+)$, $(-) \times (-) = (+)$, $(+) \times (-) = (-)$, $(-) \times (+) = (-)$.
4. Réduire l'expression (si possible) : Après le développement, si des termes sont de la même famille, réduis l'expression.

Exemple
Développe et réduis l'expression : $L = -4(2x - 3)$

Corrigé pas à pas
1. Identifier le facteur et la somme/différence :
Facteur : $-4$
Somme/différence : $(2x - 3)$
2. Multiplier le facteur par chaque terme :
$L = (-4) \times (2x) + (-4) \times (-3)$
3. Appliquer la règle des signes :
$L = -8x + 12$
4. Réduire l'expression (si possible) :
Ici, il n'y a pas de termes de même famille à réduire. L'expression est déjà réduite.

Factoriser par mise en évidence

1. Identifier les termes de l'expression : Sépare l'expression en ses différents termes (ceux qui sont ajoutés ou soustraits).
2. Chercher le plus grand facteur commun : Trouve le plus grand nombre et/ou la plus grande lettre (avec son plus petit exposant) qui divise tous les termes de l'expression.
3. Écrire le facteur commun : Place ce facteur commun devant une parenthèse.
4. Écrire les termes restants : À l'intérieur de la parenthèse, écris le résultat de la division de chaque terme original par le facteur commun.

Exemple
Factorise l'expression : $M = 10x - 15y + 5$

Corrigé pas à pas
1. Identifier les termes de l'expression :
Les termes sont : $10x$, $-15y$, $+5$.
2. Chercher le plus grand facteur commun :
- Pour les nombres : $10 = 2 \times 5$, $15 = 3 \times 5$, $5 = 1 \times 5$. Le plus grand facteur commun numérique est $5$.
- Pour les lettres : Il n'y a pas de lettre commune à tous les termes (il y a $x$ dans le premier, $y$ dans le deuxième, et aucune lettre dans le troisième).
Le plus grand facteur commun est donc $5$.
3. Écrire le facteur commun :
$M = 5(...)$
4. Écrire les termes restants :
- $10x \div 5 = 2x$
- $-15y \div 5 = -3y$
- $5 \div 5 = 1$
Donc, $M = 5(2x - 3y + 1)$

Formules et définitions clés du calcul littéral

• Calcul littéral : Calculer avec des lettres qui représentent des nombres.
• Réduire : Simplifier une expression en regroupant les termes de même famille. Ex : $3x + 5x = 8x$.
• Développer (distributivité simple) : Transformer un produit en une somme ou une différence.
  $k(a+b) = ka + kb$
  $k(a-b) = ka - kb$
• Développer (distributivité double) :
  $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$
• Factoriser (mise en évidence) : Transformer une somme ou une différence en un produit en cherchant un facteur commun. C'est l'inverse du développement.
  $ka + kb = k(a+b)$