Nombres relatifs : opérations

Addition et soustraction de nombres relatifs

Un nombre relatif est un nombre précédé d'un signe (positif + ou négatif -). Les opérations d'addition et de soustraction avec ces nombres suivent des règles spécifiques pour déterminer le signe et la valeur du résultat.

Méthode
Pour additionner deux nombres relatifs de MÊME SIGNE :
1. On additionne leurs distances à zéro (leur valeur sans le signe).
2. On conserve le signe commun aux deux nombres.
Pour additionner deux nombres relatifs de SIGNES DIFFÉRENTS :
1. On soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande.
2. On attribue au résultat le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
Pour soustraire un nombre relatif :
1. On transforme la soustraction en addition de l'opposé du nombre à soustraire. L'opposé d'un nombre est ce même nombre avec le signe contraire (ex: l'opposé de $+3$ est $-3$, l'opposé de $-5$ est $+5$).
2. On applique ensuite les règles d'addition des nombres relatifs.

Exemple
Calculez les expressions suivantes : \\
1. $(+7) + (+3)$ \\
2. $(-8) + (-2)$ \\
3. $(+10) + (-4)$ \\
4. $(-12) + (+5)$ \\
5. $(+9) - (+6)$ \\
6. $(-15) - (-7)$

Corrigé pas à pas
1. $(+7) + (+3)$ : Les deux nombres sont de même signe (positif). On additionne les distances à zéro ($7+3=10$) et on garde le signe commun (+). \\
$(+7) + (+3) = +10$ \\
2. $(-8) + (-2)$ : Les deux nombres sont de même signe (négatif). On additionne les distances à zéro ($8+2=10$) et on garde le signe commun (-). \\
$(-8) + (-2) = -10$ \\
3. $(+10) + (-4)$ : Les deux nombres sont de signes différents. La plus grande distance à zéro est $10$ (pour $+10$). On soustrait les distances à zéro ($10-4=6$). Le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro est (+). \\
$(+10) + (-4) = +6$ \\
4. $(-12) + (+5)$ : Les deux nombres sont de signes différents. La plus grande distance à zéro est $12$ (pour $-12$). On soustrait les distances à zéro ($12-5=7$). Le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro est (-). \\
$(-12) + (+5) = -7$ \\
5. $(+9) - (+6)$ : On transforme la soustraction en addition de l'opposé. L'opposé de $(+6)$ est $(-6)$. \\
$(+9) - (+6) = (+9) + (-6)$ \\
Maintenant, on applique la règle d'addition de signes différents : $9-6=3$. Le signe du nombre avec la plus grande distance à zéro est (+). \\
$(+9) - (+6) = +3$ \\
6. $(-15) - (-7)$ : On transforme la soustraction en addition de l'opposé. L'opposé de $(-7)$ est $(+7)$. \\
$(-15) - (-7) = (-15) + (+7)$ \\
Maintenant, on applique la règle d'addition de signes différents : $15-7=8$. Le signe du nombre avec la plus grande distance à zéro est (-). \\
$(-15) - (-7) = -8$

Erreurs fréquentes
Confondre le signe de l'opération (addition, soustraction) avec le signe du nombre (positif, négatif).
Oublier de transformer une soustraction en addition de l'opposé avant d'appliquer les règles d'addition.
Appliquer la règle des signes de la multiplication à l'addition ou la soustraction (par exemple, penser que $(-5) + (-3)$ donne $+8$).
Se tromper dans le choix du signe du résultat lors de l'addition de nombres de signes différents.

Multiplication et division de nombres relatifs

La multiplication et la division de nombres relatifs sont régies par une règle des signes simple qui détermine le signe du produit ou du quotient, indépendamment de leurs distances à zéro.

Méthode
Règle des signes :
1. Si les deux nombres ont le MÊME SIGNE (les deux positifs ou les deux négatifs), le résultat est POSITIF.
2. Si les deux nombres ont des SIGNES DIFFÉRENTS (un positif et un négatif), le résultat est NÉGATIF.
Calcul de la valeur :
1. Une fois le signe du résultat déterminé, on multiplie ou on divise les distances à zéro des nombres comme avec des nombres positifs.

Exemple
Calculez les expressions suivantes : \\
1. $(+6) \times (+4)$ \\
2. $(-7) \times (-3)$ \\
3. $(+9) \times (-2)$ \\
4. $(-10) \times (+5)$ \\
5. $(+24) \div (+8)$ \\
6. $(-36) \div (-9)$ \\
7. $(+40) \div (-5)$ \\
8. $(-28) \div (+7)$

Corrigé pas à pas
1. $(+6) \times (+4)$ : Mêmes signes (positifs) $\implies$ résultat positif. $6 \times 4 = 24$. \\
$(+6) \times (+4) = +24$ \\
2. $(-7) \times (-3)$ : Mêmes signes (négatifs) $\implies$ résultat positif. $7 \times 3 = 21$. \\
$(-7) \times (-3) = +21$ \\
3. $(+9) \times (-2)$ : Signes différents $\implies$ résultat négatif. $9 \times 2 = 18$. \\
$(+9) \times (-2) = -18$ \\
4. $(-10) \times (+5)$ : Signes différents $\implies$ résultat négatif. $10 \times 5 = 50$. \\
$(-10) \times (+5) = -50$ \\
5. $(+24) \div (+8)$ : Mêmes signes (positifs) $\implies$ résultat positif. $24 \div 8 = 3$. \\
$(+24) \div (+8) = +3$ \\
6. $(-36) \div (-9)$ : Mêmes signes (négatifs) $\implies$ résultat positif. $36 \div 9 = 4$. \\
$(-36) \div (-9) = +4$ \\
7. $(+40) \div (-5)$ : Signes différents $\implies$ résultat négatif. $40 \div 5 = 8$. \\
$(+40) \div (-5) = -8$ \\
8. $(-28) \div (+7)$ : Signes différents $\implies$ résultat négatif. $28 \div 7 = 4$. \\
$(-28) \div (+7) = -4$

Erreurs fréquentes
Oublier d'appliquer la règle des signes pour la multiplication et la division.
Confondre la règle des signes de la multiplication/division avec celle de l'addition/soustraction (par exemple, penser que $(-5) \times (-3)$ donne $-15$).
Faire des erreurs de calcul avec les distances à zéro après avoir déterminé le signe.

Priorités des opérations avec les nombres relatifs

Lorsque plusieurs opérations sont présentes dans une expression, l'ordre dans lequel elles doivent être effectuées est crucial. Cet ordre, appelé priorités des opérations, s'applique également aux nombres relatifs.

Méthode
1. Parenthèses : Effectuer d'abord les calculs à l'intérieur des parenthèses (ou crochets, accolades) les plus intérieures.
2. Multiplications et Divisions : Effectuer ensuite les multiplications et les divisions, de gauche à droite, dans l'ordre où elles apparaissent.
3. Additions et Soustractions : Effectuer enfin les additions et les soustractions, de gauche à droite, dans l'ordre où elles apparaissent.

Exemple
Calculez l'expression suivante : \\
$E = (-5) + 3 \times (-4) - (18 \div (-6))$

Corrigé pas à pas
$E = (-5) + 3 \times (-4) - (18 \div (-6))$ \\
1. Calculer la parenthèse : $(18 \div (-6))$ \\
Signes différents $\implies$ résultat négatif. $18 \div 6 = 3$. \\
Donc $(18 \div (-6)) = -3$. \\
L'expression devient : $E = (-5) + 3 \times (-4) - (-3)$ \\
2. Calculer la multiplication : $3 \times (-4)$ \\
Signes différents $\implies$ résultat négatif. $3 \times 4 = 12$. \\
Donc $3 \times (-4) = -12$. \\
L'expression devient : $E = (-5) + (-12) - (-3)$ \\
3. Effectuer les additions et soustractions de gauche à droite : \\
D'abord l'addition : $(-5) + (-12)$ \\
Même signe (négatif). On additionne les distances à zéro ($5+12=17$) et on garde le signe (-). \\
$(-5) + (-12) = -17$. \\
L'expression devient : $E = -17 - (-3)$ \\
Ensuite la soustraction : $-17 - (-3)$ \\
On transforme en addition de l'opposé : $-17 + (+3)$. \\
Signes différents. $17-3=14$. Le signe du nombre avec la plus grande distance à zéro ($-17$) est négatif. \\
$E = -14$

Erreurs fréquentes
Ne pas respecter l'ordre des opérations (par exemple, effectuer une addition avant une multiplication).
Faire des erreurs de signe à chaque étape du calcul, surtout lors de la transformation des soustractions ou de l'application de la règle des signes pour les multiplications/divisions.
Oublier de simplifier les doubles signes (par exemple, $-( -3)$ devient $+3$).

Additionner ou soustraire des nombres relatifs

1. 1. Identifier l'opération : Est-ce une addition ou une soustraction ?
2. 2. Si c'est une soustraction : Transformer la soustraction en addition de l'opposé du nombre à soustraire. (Ex: $A - B = A + (-B)$).
3. 3. Si c'est une addition (après transformation si nécessaire) :
4. - Si les nombres ont le MÊME SIGNE : Additionner leurs distances à zéro et garder le signe commun.
5. - Si les nombres ont des SIGNES DIFFÉRENTS : Soustraire la plus petite distance à zéro de la plus grande, et prendre le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.

Exemple
Calculez : $X = (-14) + (-6)$ et $Y = (+8) - (-12)$.

Corrigé pas à pas
Pour $X = (-14) + (-6)$ : \\
1. C'est une addition. \\
2. Les nombres ont le même signe (négatif). \\
3. On additionne les distances à zéro : $14 + 6 = 20$. \\
4. On garde le signe commun : $-$. \\
Donc $X = -20$. \\ \\
Pour $Y = (+8) - (-12)$ : \\
1. C'est une soustraction. \\
2. On la transforme en addition de l'opposé : l'opposé de $(-12)$ est $(+12)$. \\
$Y = (+8) + (+12)$. \\
3. Les nombres ont le même signe (positif). \\
4. On additionne les distances à zéro : $8 + 12 = 20$. \\
5. On garde le signe commun : $+$. \\
Donc $Y = +20$.

Multiplier ou diviser des nombres relatifs

1. 1. Déterminer le signe du résultat :
2. - Si les deux nombres ont le MÊME SIGNE (les deux positifs ou les deux négatifs), le résultat est POSITIF.
3. - Si les deux nombres ont des SIGNES DIFFÉRENTS (un positif et un négatif), le résultat est NÉGATIF.
4. 2. Calculer la valeur numérique : Multiplier ou diviser les distances à zéro des nombres (leurs valeurs sans tenir compte du signe).

Exemple
Calculez : $P = (-9) \times (+5)$ et $Q = (-60) \div (-10)$.

Corrigé pas à pas
Pour $P = (-9) \times (+5)$ : \\
1. Les nombres ont des signes différents (un négatif et un positif) $\implies$ le résultat est NÉGATIF. \\
2. On multiplie les distances à zéro : $9 \times 5 = 45$. \\
Donc $P = -45$. \\ \\
Pour $Q = (-60) \div (-10)$ : \\
1. Les nombres ont le même signe (les deux négatifs) $\implies$ le résultat est POSITIF. \\
2. On divise les distances à zéro : $60 \div 10 = 6$. \\
Donc $Q = +6$.

Effectuer une suite d'opérations avec des nombres relatifs

1. 1. Parenthèses : Effectuer tous les calculs à l'intérieur des parenthèses, en commençant par les plus intérieures. Appliquer les règles d'addition/soustraction ou multiplication/division des nombres relatifs à chaque étape.
2. 2. Multiplications et Divisions : Effectuer toutes les multiplications et divisions de gauche à droite. Appliquer la règle des signes pour ces opérations.
3. 3. Additions et Soustractions : Effectuer toutes les additions et soustractions de gauche à droite. Transformer les soustractions en additions de l'opposé si nécessaire, puis appliquer les règles d'addition des nombres relatifs.

Exemple
Calculez : $G = 7 - 4 \times (-3) + (20 \div (-5))$

Corrigé pas à pas
$G = 7 - 4 \times (-3) + (20 \div (-5))$ \\
1. Parenthèse : $(20 \div (-5))$ \\
Signes différents $\implies$ négatif. $20 \div 5 = 4$. Donc $(20 \div (-5)) = -4$. \\
L'expression devient : $G = 7 - 4 \times (-3) + (-4)$ \\
2. Multiplication : $4 \times (-3)$ \\
Signes différents $\implies$ négatif. $4 \times 3 = 12$. Donc $4 \times (-3) = -12$. \\
L'expression devient : $G = 7 - (-12) + (-4)$ \\
3. Additions et soustractions de gauche à droite : \\
D'abord $7 - (-12)$ : on transforme en addition de l'opposé $7 + (+12) = 19$. \\
L'expression devient : $G = 19 + (-4)$ \\
Enfin $19 + (-4)$ : signes différents. $19 - 4 = 15$. Le signe du nombre avec la plus grande distance à zéro ($19$) est positif. \\
$G = +15$

Règles d'addition et de soustraction

• Même signe : On additionne les distances à zéro et on garde le signe commun. \\ Ex: $(-5) + (-3) = -8$
• Signes différents : On soustrait les distances à zéro et on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro. \\ Ex: $(+7) + (-4) = +3$
• Soustraction : Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. \\ Ex: $(+5) - (-2) = (+5) + (+2) = +7$

Règles de multiplication et de division

• Même signe : Le résultat est POSITIF. \\ Ex: $(-4) \times (-2) = +8$ ou $(+10) \div (+5) = +2$
• Signes différents : Le résultat est NÉGATIF. \\ Ex: $(-6) \times (+3) = -18$ ou $(+12) \div (-4) = -3$

Priorités des opérations

• 1. Calculs entre parenthèses (ou crochets).
• 2. Multiplications et divisions (de gauche à droite).
• 3. Additions et soustractions (de gauche à droite).