Géométrie analytique et géométrie dans l'espace

Vecteurs dans l'espace et opérations fondamentales

La géométrie analytique dans l'espace permet de représenter et d'étudier des objets géométriques (points, vecteurs, droites, plans) à l'aide de coordonnées numériques dans un repère cartésien orthonormé $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. Un point $P$ est défini par ses coordonnées $(x_P, y_P, z_P)$. Un vecteur $\vec{u}$ est caractérisé par ses composantes $(u_x, u_y, u_z)$.

Coordonnées d'un vecteur : Si $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$ sont deux points de l'espace, les composantes du vecteur $\vec{AB}$ sont données par : $\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$.

Opérations vectorielles :
• Addition : Si $\vec{u} = (u_x, u_y, u_z)$ et $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$, alors $\vec{u} + \vec{v} = (u_x + v_x, u_y + v_y, u_z + v_z)$.
• Multiplication par un scalaire : Si $k$ est un nombre réel et $\vec{u} = (u_x, u_y, u_z)$, alors $k\vec{u} = (k u_x, k u_y, k u_z)$.
• Norme d'un vecteur (longueur) : La norme du vecteur $\vec{u} = (u_x, u_y, u_z)$, notée $||\vec{u}||$, est la distance entre son origine et son extrémité. Elle est calculée par $||\vec{u}|| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2}$.
• Distance entre deux points : La distance entre les points $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$ est la norme du vecteur $\vec{AB}$ : $d(A,B) = ||\vec{AB}|| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.

Méthode
Pour calculer les coordonnées d'un vecteur $\vec{AB}$ à partir des points $A$ et $B$, soustraire les coordonnées de l'origine $A$ à celles de l'extrémité $B$.
Pour effectuer une somme ou une différence de vecteurs, additionner ou soustraire les composantes correspondantes (abscisses avec abscisses, ordonnées avec ordonnées, cotes avec cotes).
Pour multiplier un vecteur par un scalaire, multiplier chaque composante du vecteur par ce scalaire.
Pour calculer la norme d'un vecteur, appliquer la formule $||\vec{u}|| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2}$.

Exemple
Soient les points $A(1, -2, 3)$, $B(4, 0, -1)$ et le vecteur $\vec{v} = (-2, 1, 5)$.
1. Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{AB}$.
2. Calculer les coordonnées du vecteur $\vec{w} = 3\vec{AB} - \vec{v}$.
3. Déterminer la norme de $\vec{AB}$ et la distance $d(A,B)$.

Corrigé pas à pas
1. Coordonnées de $\vec{AB}$ :
$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (4 - 1, 0 - (-2), -1 - 3) = (3, 2, -4)$.

2. Coordonnées de $\vec{w} = 3\vec{AB} - \vec{v}$ :
D'abord, $3\vec{AB} = 3 \cdot (3, 2, -4) = (3 \cdot 3, 3 \cdot 2, 3 \cdot (-4)) = (9, 6, -12)$.
Ensuite, $\vec{w} = (9, 6, -12) - (-2, 1, 5) = (9 - (-2), 6 - 1, -12 - 5) = (11, 5, -17)$.

3. Norme de $\vec{AB}$ et distance $d(A,B)$ :
$||\vec{AB}|| = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 4 + 16} = \sqrt{29}$.
La distance $d(A,B)$ est égale à la norme de $\vec{AB}$, donc $d(A,B) = \sqrt{29}$ unités de longueur.

Erreurs fréquentes
Inverser l'ordre des points lors du calcul des coordonnées d'un vecteur (par exemple, calculer $x_A - x_B$ au lieu de $x_B - x_A$).
Oublier un signe négatif lors des soustractions de coordonnées.
Confondre les coordonnées d'un point avec les composantes d'un vecteur.

Produit scalaire et orthogonalité

Le produit scalaire est une opération entre deux vecteurs qui donne un nombre réel (un scalaire). Il est fondamental pour déterminer l'orthogonalité de vecteurs et calculer des angles.

Définition analytique : Si $\vec{u} = (u_x, u_y, u_z)$ et $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$, leur produit scalaire est :
$\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z$.

Définition géométrique : Si $\theta$ est l'angle non orienté entre les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, alors :
$\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\theta)$.

Orthogonalité : Deux vecteurs non nuls $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Cela signifie que l'angle $\theta$ entre eux est de $90^\circ$ (ou $\frac{\pi}{2}$ radians), car $\cos(90^\circ) = 0$.

Calcul de l'angle entre deux vecteurs : À partir des deux définitions, on peut déduire la formule pour l'angle $\theta$ :
$\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}$.

Méthode
Pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs à partir de leurs composantes, multiplier les composantes correspondantes et additionner les résultats : $(u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z)$.
Pour vérifier l'orthogonalité de deux vecteurs non nuls, calculer leur produit scalaire. S'il est égal à zéro, les vecteurs sont orthogonaux.
Pour calculer l'angle entre deux vecteurs, utiliser la formule $\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}$. Il faut d'abord calculer le produit scalaire et les normes des deux vecteurs.

Exemple
Soient les vecteurs $\vec{u} = (2, -1, 3)$ et $\vec{v} = (1, 4, 1)$.
1. Calculer le produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
2. Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont-ils orthogonaux ? Justifier.
3. Calculer l'angle $\theta$ (arrondi au dixième de degré près) entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Corrigé pas à pas
1. Produit scalaire $\vec{u} \cdot \vec{v}$ :
$\vec{u} \cdot \vec{v} = (2)(1) + (-1)(4) + (3)(1) = 2 - 4 + 3 = 1$.

2. Orthogonalité :
Puisque $\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \neq 0$, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas orthogonaux.

3. Angle $\theta$ entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :
D'abord, calculons les normes :
$||\vec{u}|| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$.
$||\vec{v}|| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 16 + 1} = \sqrt{18}$.
Ensuite, utilisons la formule de l'angle :
$\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||} = \frac{1}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{18}} = \frac{1}{\sqrt{252}}$.
$\theta = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{252}}\right) \approx \arccos(0.063) \approx 86.4^\circ$.
L'angle entre les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est d'environ $86.4^\circ$.

Erreurs fréquentes
Oublier que le produit scalaire donne un scalaire (un nombre), pas un vecteur.
Confondre le produit scalaire avec le produit vectoriel (qui n'est pas au programme ici).
Faire une erreur de calcul dans les normes ou le produit scalaire, ce qui fausse le calcul de l'angle.

Représentations de droites et plans dans l'espace

La géométrie analytique permet de décrire des droites et des plans par des équations.

1. Représentation d'une droite :
Une droite $D$ dans l'espace est définie par un point $A(x_A, y_A, z_A)$ qui lui appartient et un vecteur directeur $\vec{d} = (d_x, d_y, d_z)$ qui lui est parallèle.
• Représentation paramétrique : Pour tout point $M(x, y, z)$ de la droite $D$, il existe un réel $k$ (paramètre) tel que $\vec{AM} = k\vec{d}$. Cela conduit au système :
$$\begin{cases} x = x_A + k d_x \\ y = y_A + k d_y \\ z = z_A + k d_z \end{cases}, \quad k \in \mathbb{R}$$
• Représentation cartésienne (ou symétrique) : Si $d_x, d_y, d_z$ sont non nuls, on peut isoler $k$ dans chaque équation paramétrique et les égaler :
$$\frac{x - x_A}{d_x} = \frac{y - y_A}{d_y} = \frac{z - z_A}{d_z}$$
Si l'une des composantes du vecteur directeur est nulle (par exemple $d_x=0$), l'équation correspondante est $x = x_A$. Les autres composantes peuvent former une égalité. Par exemple, si $d_x=0$, on a $x=x_A$ et $\frac{y - y_A}{d_y} = \frac{z - z_A}{d_z}$.

2. Représentation d'un plan :
Un plan $P$ dans l'espace est défini par un point $A(x_A, y_A, z_A)$ qui lui appartient et un vecteur normal $\vec{n} = (a, b, c)$ qui lui est orthogonal.
• Équation cartésienne : Pour tout point $M(x, y, z)$ du plan $P$, le vecteur $\vec{AM}$ est orthogonal au vecteur normal $\vec{n}$. Leur produit scalaire est donc nul : $\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0$.
$(x - x_A)a + (y - y_A)b + (z - z_A)c = 0$.
En développant, on obtient l'équation générale d'un plan :
$ax + by + cz + d = 0$, où $d = -ax_A - by_A - cz_A$.
Les coefficients $a, b, c$ sont les composantes d'un vecteur normal au plan.

Positions relatives : L'étude des positions relatives de droites et plans implique souvent la résolution de systèmes d'équations et l'utilisation des vecteurs directeurs et normaux.

Méthode
Pour trouver la représentation paramétrique d'une droite, identifier un point de la droite et un vecteur directeur. Utiliser la formule $M = A + k\vec{d}$.
Pour trouver l'équation cartésienne d'un plan, identifier un point du plan et un vecteur normal. Utiliser la condition d'orthogonalité $\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0$ ou directement la forme $ax + by + cz + d = 0$ en substituant le point pour trouver $d$.
Pour vérifier si un point appartient à une droite ou un plan, substituer ses coordonnées dans l'équation de la droite ou du plan. Si l'égalité est vérifiée, le point appartient à l'objet géométrique.

Exemple
1. Donner une représentation paramétrique de la droite $D$ passant par le point $A(1, 2, -1)$ et de vecteur directeur $\vec{d} = (3, -1, 2)$.
2. Donner l'équation cartésienne du plan $P$ passant par le point $B(0, 1, 4)$ et ayant pour vecteur normal $\vec{n} = (2, 3, -1)$.
3. Le point $C(1, 2, 3)$ appartient-il au plan $P$ ?

Corrigé pas à pas
1. Représentation paramétrique de la droite $D$ :
Un point $M(x, y, z)$ appartient à $D$ si $\vec{AM} = k\vec{d}$ pour un réel $k$. Les coordonnées de $\vec{AM}$ sont $(x-1, y-2, z-(-1))$.
Donc, $(x-1, y-2, z+1) = k(3, -1, 2)$.
On obtient le système :
$$\begin{cases} x - 1 = 3k \\ y - 2 = -k \\ z + 1 = 2k \end{cases} \implies \begin{cases} x = 1 + 3k \\ y = 2 - k \\ z = -1 + 2k \end{cases}, \quad k \in \mathbb{R}$$

2. Équation cartésienne du plan $P$ :
Le vecteur normal est $\vec{n} = (2, 3, -1)$, donc l'équation du plan est de la forme $2x + 3y - z + d = 0$.
Le plan passe par $B(0, 1, 4)$, donc les coordonnées de $B$ doivent vérifier l'équation :
$2(0) + 3(1) - (4) + d = 0$
$0 + 3 - 4 + d = 0$
$-1 + d = 0 \implies d = 1$.
L'équation cartésienne du plan $P$ est $2x + 3y - z + 1 = 0$.

3. Appartenance du point $C(1, 2, 3)$ au plan $P$ :
Substituons les coordonnées de $C$ dans l'équation du plan $P$ :
$2(1) + 3(2) - (3) + 1 = 0$
$2 + 6 - 3 + 1 = 0$
$8 - 3 + 1 = 0$
$5 + 1 = 0$
$6 = 0$. Ceci est faux.
Donc, le point $C(1, 2, 3)$ n'appartient pas au plan $P$.

Erreurs fréquentes
Confondre un vecteur directeur (pour une droite) et un vecteur normal (pour un plan). Le vecteur directeur est parallèle à la droite, le vecteur normal est orthogonal au plan.
Erreurs de signe lors de la substitution des coordonnées ou du calcul de $d$ pour un plan.
Oublier le paramètre $k$ dans les équations paramétriques d'une droite.

Calculer la distance entre deux points dans l'espace

1. Identifier les coordonnées des deux points, par exemple $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$.
2. Calculer les différences des coordonnées : $(x_B - x_A)$, $(y_B - y_A)$, $(z_B - z_A)$.
3. Élever chaque différence au carré : $(x_B - x_A)^2$, $(y_B - y_A)^2$, $(z_B - z_A)^2$.
4. Additionner les trois carrés obtenus.
5. Prendre la racine carrée du résultat pour obtenir la distance $d(A,B) = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.

Exemple
Calculer la distance entre les points $M(2, -1, 5)$ et $N(0, 3, 2)$.

Corrigé pas à pas
1. Coordonnées : $M(2, -1, 5)$ et $N(0, 3, 2)$.
2. Différences des coordonnées :
$x_N - x_M = 0 - 2 = -2$
$y_N - y_M = 3 - (-1) = 4$
$z_N - z_M = 2 - 5 = -3$
3. Carrés des différences :
$(-2)^2 = 4$
$(4)^2 = 16$
$(-3)^2 = 9$
4. Somme des carrés : $4 + 16 + 9 = 29$.
5. Racine carrée : $d(M,N) = \sqrt{29}$.
La distance entre $M$ et $N$ est $\sqrt{29}$ unités de longueur.

Déterminer l'équation cartésienne d'un plan

1. Identifier un point $A(x_A, y_A, z_A)$ appartenant au plan et un vecteur normal $\vec{n} = (a, b, c)$ au plan.
2. Écrire la forme générale de l'équation du plan : $ax + by + cz + d = 0$. Les coefficients $a, b, c$ sont les composantes du vecteur normal.
3. Substituer les coordonnées du point $A$ dans l'équation pour trouver la valeur de $d$.
4. Réécrire l'équation complète du plan avec la valeur de $d$ trouvée.

Exemple
Déterminer l'équation cartésienne du plan $P$ passant par le point $R(3, -1, 2)$ et ayant pour vecteur normal $\vec{n} = (1, 2, -3)$.

Corrigé pas à pas
1. Point $R(3, -1, 2)$, vecteur normal $\vec{n} = (1, 2, -3)$.
2. L'équation du plan est de la forme $1x + 2y - 3z + d = 0$, soit $x + 2y - 3z + d = 0$.
3. Substituons les coordonnées de $R$ dans l'équation :
$(3) + 2(-1) - 3(2) + d = 0$
$3 - 2 - 6 + d = 0$
$-5 + d = 0 \implies d = 5$.
4. L'équation cartésienne du plan $P$ est $x + 2y - 3z + 5 = 0$.

Étudier la position relative de deux droites dans l'espace

1. Identifier les vecteurs directeurs $\vec{d_1}$ et $\vec{d_2}$ des deux droites $D_1$ et $D_2$.
2. Vérifier si les vecteurs directeurs sont colinéaires (c'est-à-dire si $\vec{d_1} = k\vec{d_2}$ pour un réel $k$).
   • Si oui, les droites sont parallèles (strictement parallèles ou confondues).
   • Si non, les droites sont sécantes ou non coplanaires (gauches).
3. Si les droites sont parallèles, choisir un point $A_1$ de $D_1$ et vérifier s'il appartient à $D_2$. Si $A_1 \in D_2$, les droites sont confondues. Sinon, elles sont strictement parallèles.
4. Si les droites ne sont pas parallèles (vecteurs directeurs non colinéaires), chercher un point d'intersection en égalant leurs représentations paramétriques (système de 3 équations à 2 inconnues, les paramètres $k_1$ et $k_2$).
   • Si le système admet une solution unique, les droites sont sécantes.
   • Si le système n'admet pas de solution, les droites sont non coplanaires (gauches).

Exemple
Étudier la position relative des droites $D_1$ et $D_2$ :
$D_1: \begin{cases} x = 1 + 2k \\ y = -k \\ z = 3 + k \end{cases}, \quad k \in \mathbb{R}$
$D_2: \begin{cases} x = 3 + s \\ y = 1 - s \\ z = 2 + 2s \end{cases}, \quad s \in \mathbb{R}$

Corrigé pas à pas
1. Vecteurs directeurs :
$\vec{d_1} = (2, -1, 1)$ pour $D_1$.
$\vec{d_2} = (1, -1, 2)$ pour $D_2$.

2. Colinéarité des vecteurs directeurs :
Les vecteurs $\vec{d_1}$ et $\vec{d_2}$ ne sont pas colinéaires car il n'existe pas de réel $k$ tel que $(2, -1, 1) = k(1, -1, 2)$. Par exemple, $2 = k \cdot 1 \implies k=2$, mais $-1 = k \cdot (-1) \implies k=1$. Les valeurs de $k$ sont différentes, donc les vecteurs ne sont pas colinéaires. Les droites ne sont pas parallèles.

3. Recherche d'un point d'intersection :
Égalons les coordonnées :
$$\begin{cases} 1 + 2k = 3 + s \quad (1) \\ -k = 1 - s \quad (2) \\ 3 + k = 2 + 2s \quad (3) \end{cases}$$
De (2), on tire $s = 1 + k$. Substituons $s$ dans (1) :
$1 + 2k = 3 + (1 + k)$
$1 + 2k = 4 + k$
$k = 3$.
Maintenant, trouvons $s$ : $s = 1 + k = 1 + 3 = 4$.
Vérifions ces valeurs de $k$ et $s$ dans la troisième équation (3) :
$3 + k = 3 + 3 = 6$.
$2 + 2s = 2 + 2(4) = 2 + 8 = 10$.
Puisque $6 \neq 10$, le système n'admet pas de solution. Il n'y a pas de point d'intersection.

Conclusion : Les droites $D_1$ et $D_2$ ne sont ni parallèles ni sécantes. Elles sont donc non coplanaires (gauches).

Formules clés en géométrie analytique dans l'espace

• Coordonnées d'un vecteur $\vec{AB}$ : $A(x_A, y_A, z_A)$, $B(x_B, y_B, z_B) \implies \vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$.
• Norme d'un vecteur $\vec{u}=(u_x, u_y, u_z)$ : $||\vec{u}|| = \sqrt{u_x^2 + u_y^2 + u_z^2}$.
• Distance entre deux points $A$ et $B$ : $d(A,B) = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.
• Produit scalaire analytique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z$.
• Produit scalaire géométrique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \cos(\theta)$.
• Condition d'orthogonalité de deux vecteurs non nuls : $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
• Angle $\theta$ entre deux vecteurs : $\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}||}$.
• Représentation paramétrique d'une droite $D$ (point $A(x_A, y_A, z_A)$, vecteur directeur $\vec{d}=(d_x, d_y, d_z)$) :
  $$\begin{cases} x = x_A + k d_x \\ y = y_A + k d_y \\ z = z_A + k d_z \end{cases}, \quad k \in \mathbb{R}$$
• Équation cartésienne d'un plan $P$ (vecteur normal $\vec{n}=(a, b, c)$) : $ax + by + cz + d = 0$.