Géométrie : trigonométrie du triangle rectangle, Pythagore et Thalès

Le théorème de Pythagore et sa réciproque

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (côtés de l'angle droit). Pour un triangle $ABC$ rectangle en $A$, on a : $$BC^2 = AB^2 + AC^2$$
Réciproque : Si dans un triangle $ABC$, la relation $BC^2 = AB^2 + AC^2$ est vérifiée (où $[BC]$ est le plus long côté), alors le triangle est rectangle en $A$.

Méthode
Identifier le triangle et repérer le sommet de l'angle droit ainsi que l'hypoténuse (face à l'angle droit).
Écrire l'égalité de Pythagore sous forme littérale en adaptant les lettres des sommets.
Remplacer les longueurs connues par leurs valeurs numériques.
Isoler la longueur inconnue au carré, puis extraire la racine carrée positive (une longueur étant toujours strictement positive).

Exemple
Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB = 6\text{ cm}$ et $BC = 10\text{ cm}$. Calculer la longueur du côté $[AC]$.

Corrigé pas à pas
Le triangle $ABC$ étant rectangle en $A$, le théorème de Pythagore donne :
$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$
On remplace par les valeurs connues :
$$10^2 = 6^2 + AC^2$$
$$100 = 36 + AC^2$$
$$AC^2 = 100 - 36 = 64$$
Une longueur étant strictement positive :
$$AC = \sqrt{64} = 8\text{ cm}$$

Erreurs fréquentes
Additionner systématiquement les carrés sans vérifier si l'on cherche l'hypoténuse ou un côté de l'angle droit.
Oublier d'extraire la racine carrée à la fin du calcul ($AC^2 = 64 \implies AC = 8$, et non $64$).
Appliquer le théorème dans un triangle quelconque sans s'assurer de la présence d'un angle droit.

Le théorème de Thalès et les triangles semblables

Soient deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sécantes en un point $A$. Soient $B$ et $D$ deux points distincts de $(d_1)$, et $C$ et $E$ deux points distincts de $(d_2)$, tous distincts de $A$.
Si les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles, alors les rapports de longueurs correspondants sont égaux :
$$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$$
Cette propriété traduit le fait que les triangles $ABC$ et $ADE$ sont semblables (homothétiques).

Méthode
Vérifier les conditions préalables : alignement des points sur deux droites sécantes et parallélisme des deux droites transversales.
Écrire le rapport de proportionnalité en veillant à placer les longueurs du petit triangle au numérateur et celles du grand triangle au dénominateur (ou l'inverse).
Remplacer les mesures connues dans les égalités.
Utiliser le produit en croix pour calculer la longueur recherchée.

Exemple
Sur la figure ci-dessus, les points $A, D, B$ sont alignés, les points $A, E, C$ sont alignés, et les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles. On donne $AD = 3\text{ cm}$, $AB = 7.5\text{ cm}$, $AE = 4\text{ cm}$ et $BC = 10\text{ cm}$. Calculer $AC$ et $DE$.

Corrigé pas à pas
Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont sécantes en $A$, et $(DE) \parallel (BC)$. D'après le théorème de Thalès :
$$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$$
En remplaçant par les valeurs données :
$$\frac{3}{7.5} = \frac{4}{AC} = \frac{DE}{10}$$
1) Calcul de $AC$ :
$$AC = \frac{4 \times 7.5}{3} = \frac{30}{3} = 10\text{ cm}$$
2) Calcul de $DE$ :
$$DE = \frac{3 \times 10}{7.5} = \frac{30}{7.5} = 4\text{ cm}$$

Erreurs fréquentes
Confondre la longueur d'un segment complet (ex. $AB$) avec celle du tronçon intermédiaire (ex. $DB$). Le rapport est $\frac{AD}{AB}$, et non $\frac{AD}{DB}$.
Mélanger les termes : mettre une longueur du grand triangle au numérateur d'une fraction et au dénominateur de la suivante.
Oublier de vérifier le parallélisme avant d'appliquer la formule.

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, pour tout angle aigu noté $\alpha$ :
- $\cos(\alpha) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
- $\sin(\alpha) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$
- $\tan(\alpha) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$

Relations fondamentales :
Pour tout angle aigu $\alpha$ ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$) :
$$\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1 \quad \text{et} \quad \tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$$

Méthode
Repérer l'angle aigu étudié, puis identifier clairement l'hypoténuse, le côté adjacent à cet angle et le côté opposé à cet angle.
Choisir le bon rapport trigonométrique (sinus, cosinus ou tangente) en fonction des deux côtés impliqués (celui connu et celui recherché).
Poser l'équation trigonométrique et isoler l'inconnue.
Pour trouver la mesure d'un angle, appliquer la fonction réciproque correspondante sur la calculatrice ($\arccos$, $\arcsin$ ou $\arctan$).

Exemple
Dans un triangle $ABC$ rectangle en $B$, on a $AB = 5\text{ cm}$ et $\widehat{BAC} = 30^\circ$. Calculer la longueur de l'hypoténuse $[AC]$.

Corrigé pas à pas
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, le côté $[AB]$ est le côté adjacent à l'angle $\widehat{BAC}$, et $[AC]$ est l'hypoténuse.
On utilise la définition du cosinus :
$$\cos(\widehat{BAC}) = \frac{AB}{AC}$$
$$\cos(30^\circ) = \frac{5}{AC}$$
On isole $AC$ :
$$AC = \frac{5}{\cos(30^\circ)} = \frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} \approx 5.77\text{ cm}$$

Erreurs fréquentes
Inverser côté adjacent et côté opposé (le côté opposé est en face de l'angle ; le côté adjacent touche l'angle sans être l'hypoténuse).
Utiliser la calculatrice en mode radians au lieu du mode degrés lors de la résolution de problèmes géométriques en degrés.
Écrire $\cos = 0.5$ sans préciser l'angle dont on prend le cosinus.

Calculer une longueur inconnue à l'aide de la trigonométrie

1. S'assurer que le triangle est rectangle et identifier le sommet de l'angle droit.
2. Étiqueter les trois côtés par rapport à l'angle aigu connu : Hypoténuse, Opposé, Adjacent.
3. Sélectionner la formule appropriée (mémo : SOH - CAH - TOA).
4. Résoudre l'équation pour isoler la longueur cherchée.

Exemple
Un câble rectiligne de $25\text{ m}$ de long est tendu depuis le sommet d'un mât vertical jusqu'au sol horizontal. Le câble forme un angle de $65^\circ$ avec le sol. Quelle est la hauteur du mât (au centième près) ?

Corrigé pas à pas
Le sol et le mât forment un angle droit. Le mât est le côté opposé à l'angle de $65^\circ$, et le câble représente l'hypoténuse de $25\text{ m}$.
On applique le sinus :
$$\sin(65^\circ) = \frac{\text{hauteur}}{25}$$
$$\text{hauteur} = 25 \times \sin(65^\circ) \approx 25 \times 0.9063 \approx 22.66\text{ m}$$
La hauteur du mât est d'environ $22.66\text{ m}$.

Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles avec Thalès

1. Repérer deux droites sécantes et les points alignés correspondants.
2. Calculer séparément les deux rapports de longueurs $\frac{AD}{AB}$ et $\frac{AE}{AC}$.
3. Comparer les valeurs exactes (ou les fractions réduites).
4. Conclure : si les rapports sont différents, d'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites ne sont pas parallèles.

Exemple
Sur deux droites sécantes en $A$, on place les points $B, D$ d'une part et $C, E$ d'autre part, dans le même ordre. On mesure $AB = 6$, $AD = 4$, $AC = 9$ et $AE = 5.5$. Les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont-elles parallèles ?

Corrigé pas à pas
Calculons les rapports séparément :
$$\frac{AD}{AB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0.667$$
$$\frac{AE}{AC} = \frac{5.5}{9} = \frac{11}{18} \approx 0.611$$
Puisque $\frac{2}{3} = \frac{12}{18} \neq \frac{11}{18}$, les rapports $\frac{AD}{AB}$ et $\frac{AE}{AC}$ ne sont pas égaux.
D'après la contraposée du théorème de Thalès, les droites $(BC)$ et $(DE)$ ne sont pas parallèles.

Théorème de Pythagore

• Triangle $ABC$ rectangle en $A \iff BC^2 = AB^2 + AC^2$
• Calcul de l'hypoténuse : $BC = \sqrt{AB^2 + AC^2}$
• Calcul d'un côté de l'angle droit : $AB = \sqrt{BC^2 - AC^2}$

Théorème de Thalès

• Conditions : droites sécantes en un sommet commun + droites parallèles.
• Égalité des trois rapports : $\frac{\text{petit}}{\text{grand}} = \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$

Trigonométrie du triangle rectangle

• $\cos(\alpha) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
• $\sin(\alpha) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$
• $\tan(\alpha) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$
• $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$ et $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$