Algèbre : équations et systèmes

Résolution d'équations à une inconnue (1er et 2nd degré)

Une équation est une égalité qui contient une ou plusieurs inconnues. Résoudre une équation consiste à trouver toutes les valeurs de l'inconnue (ou des inconnues) qui rendent l'égalité vraie. Nous allons revoir les méthodes de résolution pour les équations du premier et du second degré à une seule inconnue.

Méthode
Pour une équation du premier degré ($ax+b=0$, avec $a \neq 0$):
1. Isolez le terme contenant l'inconnue $x$ en ajoutant ou soustrayant des termes des deux côtés de l'égalité.
2. Divisez les deux côtés par le coefficient de $x$ pour trouver la valeur de $x$.
Pour une équation du second degré ($ax^2+bx+c=0$, avec $a \neq 0$):
1. Calculez le discriminant $\Delta$ à l'aide de la formule $\Delta = b^2 - 4ac$.
2. Analysez la valeur de $\Delta$ :
- Si $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
- Si $\Delta = 0$, il y a une unique solution réelle (double) : $x_0 = \frac{-b}{2a}$.
- Si $\Delta < 0$, il n'y a pas de solution réelle.

Exemple
Résolvez les équations suivantes : \(3x - 7 = 5x + 1\) et \(2x^2 - 5x + 2 = 0\).

Corrigé pas à pas
Équation du premier degré : \(3x - 7 = 5x + 1\)

1. Regroupons les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre :
\(3x - 5x = 1 + 7\)
\(-2x = 8\)

2. Divisons par le coefficient de $x$ :
\(x = \frac{8}{-2}\)
\(x = -4\)

La solution de l'équation est $x = -4$.

Équation du second degré : \(2x^2 - 5x + 2 = 0\)

Cette équation est de la forme $ax^2+bx+c=0$ avec $a=2$, $b=-5$ et $c=2$.

1. Calculons le discriminant $\Delta$ :
\(\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(2)(2)\)
\(\Delta = 25 - 16\)
\(\Delta = 9\)

2. Puisque $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes :
\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) - \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\)
\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{9}}{2(2)} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2\)

Les solutions de l'équation sont $x = \frac{1}{2}$ et $x = 2$.

Erreurs fréquentes
Erreurs de signe lors du déplacement de termes d'un côté à l'autre de l'égalité.
Oubli de considérer les deux solutions lorsque $\Delta > 0$ pour les équations du second degré.
Erreurs de calcul du discriminant ou des racines, notamment avec les signes négatifs.

Résolution de systèmes d'équations linéaires à deux inconnues

Un système d'équations linéaires à deux inconnues est un ensemble de deux équations du premier degré, chacune contenant les mêmes deux inconnues. Résoudre un tel système, c'est trouver les valeurs des deux inconnues qui vérifient simultanément les deux équations. Graphiquement, cela correspond à trouver les coordonnées du point d'intersection de deux droites.

Méthode
Méthode par substitution :
1. Dans l'une des équations, exprimez une inconnue en fonction de l'autre (par exemple, $y$ en fonction de $x$).
2. Substituez cette expression dans la deuxième équation. Vous obtenez alors une équation à une seule inconnue.
3. Résolvez cette équation pour trouver la valeur de la première inconnue.
4. Remplacez cette valeur dans l'expression obtenue à l'étape 1 pour trouver la valeur de la seconde inconnue.
5. Vérifiez les solutions dans les deux équations initiales.
Méthode par combinaison linéaire (ou addition) :
1. Multipliez chaque équation par un nombre approprié afin que les coefficients d'une des inconnues soient opposés (par exemple, $2y$ et $-2y$).
2. Additionnez les deux équations membre à membre. Cela éliminera une inconnue et vous obtiendrez une équation à une seule inconnue.
3. Résolvez cette équation pour trouver la valeur de la première inconnue.
4. Remplacez cette valeur dans l'une des équations initiales pour trouver la valeur de la seconde inconnue.
5. Vérifiez les solutions dans les deux équations initiales.

Exemple
Résolvez le système d'équations suivant par substitution et par combinaison linéaire : \(\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - 3y = 0 \end{cases}\)

Corrigé pas à pas
Résolution par substitution :

Partons du système :
(1) \(2x + y = 7\)
(2) \(x - 3y = 0\)

1. Exprimons $x$ en fonction de $y$ à partir de l'équation (2) (c'est la plus simple ici) :
\(x = 3y\)

2. Substituons cette expression de $x$ dans l'équation (1) :
\(2(3y) + y = 7\)
\(6y + y = 7\)
\(7y = 7\)

3. Résolvons pour $y$ :
\(y = \frac{7}{7}\)
\(y = 1\)

4. Remplaçons $y=1$ dans l'expression de $x$ :
\(x = 3(1)\)
\(x = 3\)

5. Vérification :
(1) \(2(3) + 1 = 6 + 1 = 7\) (Vrai)
(2) \(3 - 3(1) = 3 - 3 = 0\) (Vrai)

La solution du système est le couple \((3, 1)\).

Résolution par combinaison linéaire :

Partons du système :
(1) \(2x + y = 7\)
(2) \(x - 3y = 0\)

1. Multiplions l'équation (1) par 3 pour que les coefficients de $y$ soient opposés :
\(3 \times (2x + y) = 3 \times 7 \Rightarrow 6x + 3y = 21\)
L'équation (2) reste inchangée : \(x - 3y = 0\)

2. Additionnons les deux nouvelles équations membre à membre :
\((6x + 3y) + (x - 3y) = 21 + 0\)
\(7x = 21\)

3. Résolvons pour $x$ :
\(x = \frac{21}{7}\)
\(x = 3\)

4. Remplaçons $x=3$ dans l'équation (1) initiale :
\(2(3) + y = 7\)
\(6 + y = 7\)
\(y = 7 - 6\)
\(y = 1\)

5. Vérification (déjà effectuée ci-dessus).

La solution du système est le couple \((3, 1)\).

Erreurs fréquentes
Erreurs de signe lors de la multiplication des équations ou de l'addition/soustraction.
Oubli de distribuer le multiplicateur à tous les termes de l'équation.
Erreurs de calcul lors de la substitution ou de la résolution de l'équation à une inconnue.

Introduction aux systèmes d'équations non linéaires

Un système d'équations est dit non linéaire si au moins une de ses équations n'est pas du premier degré (elle peut contenir des termes au carré, des produits d'inconnues, des racines, etc.). La résolution de ces systèmes est généralement plus complexe et il n'existe pas de méthode universelle comme pour les systèmes linéaires. La méthode par substitution est souvent privilégiée.

Méthode
1. Choisissez l'équation la plus simple pour exprimer une inconnue en fonction de l'autre. Il est souvent avantageux de choisir une équation linéaire si elle est présente, ou une équation où une inconnue est facile à isoler.
2. Substituez cette expression dans l'autre équation. Cela transformera le système en une seule équation à une inconnue, qui sera souvent du second degré ou d'un degré supérieur.
3. Résolvez cette équation à une inconnue. Vous pourriez obtenir plusieurs solutions pour cette inconnue.
4. Pour chaque solution trouvée à l'étape 3, remplacez-la dans l'expression de l'étape 1 pour trouver la valeur correspondante de la seconde inconnue.
5. Vérifiez chaque couple de solutions dans les équations initiales du système.

Exemple
Résolvez le système d'équations suivant : \(\begin{cases} y = x^2 - 4 \\ y = 2x - 1 \end{cases}\)

Corrigé pas à pas
Partons du système :
(1) \(y = x^2 - 4\)
(2) \(y = 2x - 1\)

1. Puisque les deux équations sont déjà exprimées en fonction de $y$, nous pouvons les égaler :
\(x^2 - 4 = 2x - 1\)

2. Réorganisons cette équation pour obtenir une équation du second degré standard :
\(x^2 - 2x - 4 + 1 = 0\)
\(x^2 - 2x - 3 = 0\)

3. Résolvons cette équation du second degré. Ici, $a=1$, $b=-2$, $c=-3$.
Calculons le discriminant $\Delta$ :
\(\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3)\)
\(\Delta = 4 + 12\)
\(\Delta = 16\)
Puisque $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles :
\(x_1 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1\)
\(x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3\)

4. Trouvons les valeurs de $y$ correspondantes en utilisant l'équation (2) (plus simple) :
Pour \(x_1 = -1\) :
\(y_1 = 2(-1) - 1 = -2 - 1 = -3\)
Premier couple solution : \((-1, -3)\)

Pour \(x_2 = 3\) :
\(y_2 = 2(3) - 1 = 6 - 1 = 5\)
Deuxième couple solution : \((3, 5)\)

5. Vérification :
Pour \((-1, -3)\) :
(1) \(-3 = (-1)^2 - 4 \Rightarrow -3 = 1 - 4 \Rightarrow -3 = -3\) (Vrai)
(2) \(-3 = 2(-1) - 1 \Rightarrow -3 = -2 - 1 \Rightarrow -3 = -3\) (Vrai)

Pour \((3, 5)\) :
(1) \(5 = (3)^2 - 4 \Rightarrow 5 = 9 - 4 \Rightarrow 5 = 5\) (Vrai)
(2) \(5 = 2(3) - 1 \Rightarrow 5 = 6 - 1 \Rightarrow 5 = 5\) (Vrai)

Les solutions du système sont les couples \((-1, -3)\) et \((3, 5)\).

Erreurs fréquentes
Oubli de trouver toutes les solutions pour l'inconnue après la substitution (par exemple, si l'équation résultante est du second degré).
Erreurs de calcul lors de la substitution, notamment avec les carrés ou les produits.
Ne pas vérifier chaque couple de solutions dans les équations initiales, ce qui peut masquer des erreurs.

Résoudre une équation du second degré par le discriminant

1. 1. Assurez-vous que l'équation est sous la forme standard $ax^2+bx+c=0$. Identifiez les coefficients $a$, $b$ et $c$.
2. 2. Calculez le discriminant $\Delta$ en utilisant la formule $\Delta = b^2 - 4ac$. Soyez attentif aux signes des coefficients.
3. 3. Interprétez la valeur de $\Delta$ :
4. - Si $\Delta > 0$, calculez les deux solutions réelles distinctes : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. - Si $\Delta = 0$, calculez l'unique solution réelle (double) : $x_0 = \frac{-b}{2a}$.
6. - Si $\Delta < 0$, concluez qu'il n'y a pas de solution réelle.

Exemple
Résolvez l'équation : \(3x^2 + 10x + 8 = 0\).

Corrigé pas à pas
1. L'équation est déjà sous la forme $ax^2+bx+c=0$. Nous avons $a=3$, $b=10$, $c=8$.

2. Calculons le discriminant $\Delta$ :
\(\Delta = b^2 - 4ac = (10)^2 - 4(3)(8)\)
\(\Delta = 100 - 96\)
\(\Delta = 4\)

3. Puisque $\Delta = 4 > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes :
\(x_1 = \frac{-10 - \sqrt{4}}{2(3)} = \frac{-10 - 2}{6} = \frac{-12}{6} = -2\)
\(x_2 = \frac{-10 + \sqrt{4}}{2(3)} = \frac{-10 + 2}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}\)

Les solutions sont $x = -2$ et $x = -\frac{4}{3}$.

Résoudre un système linéaire par substitution

1. 1. Choisissez l'une des deux équations et isolez-y une des inconnues (celle dont le coefficient est le plus simple, idéalement 1 ou -1).
2. 2. Substituez l'expression obtenue pour cette inconnue dans la deuxième équation. Vous obtiendrez une équation à une seule inconnue.
3. 3. Résolvez cette équation pour trouver la valeur de la première inconnue.
4. 4. Remplacez la valeur trouvée à l'étape 3 dans l'expression isolée à l'étape 1 pour trouver la valeur de la seconde inconnue.
5. 5. Vérifiez le couple de solutions dans les deux équations initiales du système.

Exemple
Résolvez le système : \(\begin{cases} x - 2y = 1 \\ 3x + 4y = 13 \end{cases}\)

Corrigé pas à pas
1. De l'équation (1) \(x - 2y = 1\), isolons $x$ :
\(x = 1 + 2y\)

2. Substituons \(x = 1 + 2y\) dans l'équation (2) \(3x + 4y = 13\) :
\(3(1 + 2y) + 4y = 13\)
\(3 + 6y + 4y = 13\)

3. Résolvons l'équation pour $y$ :
\(3 + 10y = 13\)
\(10y = 13 - 3\)
\(10y = 10\)
\(y = 1\)

4. Remplaçons \(y = 1\) dans l'expression de $x$ :
\(x = 1 + 2(1)\)
\(x = 1 + 2\)
\(x = 3\)

5. Vérification :
(1) \(3 - 2(1) = 3 - 2 = 1\) (Vrai)
(2) \(3(3) + 4(1) = 9 + 4 = 13\) (Vrai)

La solution du système est le couple \((3, 1)\).

Résoudre un système linéaire par combinaison linéaire

1. 1. Choisissez l'inconnue que vous souhaitez éliminer (par exemple, $x$ ou $y$).
2. 2. Multipliez chaque équation par un nombre (non nul) de manière à ce que les coefficients de l'inconnue choisie soient opposés (par exemple, $A$ et $-A$).
3. 3. Additionnez les deux nouvelles équations membre à membre. L'inconnue choisie sera éliminée, et vous obtiendrez une équation à une seule inconnue.
4. 4. Résolvez cette équation pour trouver la valeur de la première inconnue.
5. 5. Remplacez la valeur trouvée à l'étape 4 dans l'une des équations initiales du système pour trouver la valeur de la seconde inconnue.
6. 6. Vérifiez le couple de solutions dans les deux équations initiales du système.

Exemple
Résolvez le système : \(\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 5x - 2y = 12 \end{cases}\)

Corrigé pas à pas
1. Nous allons éliminer $y$.

2. Multiplions l'équation (1) par 2 et l'équation (2) par 3 pour obtenir des coefficients opposés pour $y$ (soit $6y$ et $-6y$) :
\(2 \times (2x + 3y) = 2 \times 1 \Rightarrow 4x + 6y = 2\)
\(3 \times (5x - 2y) = 3 \times 12 \Rightarrow 15x - 6y = 36\)

3. Additionnons les deux nouvelles équations :
\((4x + 6y) + (15x - 6y) = 2 + 36\)
\(19x = 38\)

4. Résolvons pour $x$ :
\(x = \frac{38}{19}\)
\(x = 2\)

5. Remplaçons \(x = 2\) dans l'équation (1) initiale \(2x + 3y = 1\) :
\(2(2) + 3y = 1\)
\(4 + 3y = 1\)
\(3y = 1 - 4\)
\(3y = -3\)
\(y = -1\)

6. Vérification :
(1) \(2(2) + 3(-1) = 4 - 3 = 1\) (Vrai)
(2) \(5(2) - 2(-1) = 10 + 2 = 12\) (Vrai)

La solution du système est le couple \((2, -1)\).

Équations du 1er degré

• Forme générale : $ax+b=0$ (avec $a \neq 0$).
• Solution unique : $x = -\frac{b}{a}$.

Équations du 2nd degré

• Forme générale : $ax^2+bx+c=0$ (avec $a \neq 0$).
• Discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$.
• Solutions :
• - Si $\Delta > 0$ : deux solutions réelles $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
• - Si $\Delta = 0$ : une solution réelle double $x_0 = \frac{-b}{2a}$.
• - Si $\Delta < 0$ : aucune solution réelle.

Systèmes d'équations linéaires à deux inconnues

• Forme générale : $\begin{cases} ax+by=c \\ dx+ey=f \end{cases}$.
• Méthodes de résolution :
• - Substitution : Isoler une inconnue dans une équation, puis la remplacer dans l'autre.
• - Combinaison linéaire : Multiplier les équations pour obtenir des coefficients opposés pour une inconnue, puis additionner les équations pour l'éliminer.

Systèmes d'équations non linéaires

• Contiennent au moins une équation non linéaire (ex: $x^2$, $xy$).
• Méthode privilégiée : la substitution, ramenant souvent à une équation du second degré ou plus complexe.