Fonctions : 1er degré, 2e degré et fonctions de référence

Les fonctions du premier degré

Une fonction du premier degré, également appelée fonction affine, est une fonction dont l'expression algébrique peut s'écrire sous la forme générale $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels, avec $a \neq 0$. Si $a=0$, la fonction est constante ($f(x)=b$).

Le nombre $a$ est appelé la pente ou le coefficient angulaire de la droite représentative de la fonction. Il indique la direction et l'inclinaison de la droite.
Le nombre $b$ est appelé l'ordonnée à l'origine. Il représente la valeur de $f(x)$ lorsque $x=0$, c'est-à-dire l'ordonnée du point d'intersection de la droite avec l'axe des $y$.

Méthode
Identifier les paramètres $a$ et $b$ : À partir de l'expression $f(x) = ax + b$, déterminez la valeur de la pente $a$ et de l'ordonnée à l'origine $b$.
Analyser la variation de la fonction :
• Si $a > 0$, la fonction est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
• Si $a < 0$, la fonction est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.
• Si $a = 0$, la fonction est constante (cas particulier d'une fonction du premier degré, parfois appelée fonction constante).
Déterminer la racine (ou le zéro) de la fonction : La racine est la valeur de $x$ pour laquelle $f(x) = 0$. Pour la trouver, résolvez l'équation $ax + b = 0$. La racine est $x = -b/a$ (si $a \neq 0$). Graphiquement, c'est l'abscisse du point d'intersection de la droite avec l'axe des $x$.
Esquisser le graphique : La représentation graphique d'une fonction du premier degré est une droite. Pour la tracer, il suffit de placer deux points :
• Le point $(0, b)$ (l'ordonnée à l'origine).
• Le point $(-b/a, 0)$ (la racine).
• Ou un autre point calculé, par exemple $(1, a+b)$. Reliez ces deux points pour obtenir la droite.

Exemple
Considérons la fonction $f(x) = -2x + 4$. Déterminez sa pente, son ordonnée à l'origine, sa variation, sa racine et décrivez son graphique.

Corrigé pas à pas
1. Pente et ordonnée à l'origine :
L'expression est de la forme $f(x) = ax + b$. Ici, $a = -2$ et $b = 4$.
La pente est $a = -2$. L'ordonnée à l'origine est $b = 4$.

2. Variation de la fonction :
Puisque $a = -2 < 0$, la fonction $f(x)$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}$.

3. Racine de la fonction :
Pour trouver la racine, nous résolvons $f(x) = 0$ :
$-2x + 4 = 0$
$-2x = -4$
$x = \frac{-4}{-2}$
$x = 2$
La racine de la fonction est $x = 2$.

4. Description du graphique :
Le graphique est une droite qui coupe l'axe des $y$ au point $(0, 4)$ (ordonnée à l'origine) et l'axe des $x$ au point $(2, 0)$ (racine). Étant donné que la pente est négative, la droite "descend" de gauche à droite.

Erreurs fréquentes
Confondre la pente $a$ et l'ordonnée à l'origine $b$, ou inverser leur rôle dans l'équation de la droite.
Oublier que la variation de la fonction est directement liée au signe de la pente $a$ (croissante si $a>0$, décroissante si $a<0$).
Ne pas savoir calculer la racine en résolvant $f(x)=0$, ou faire une erreur de signe lors de cette résolution.

Les fonctions du second degré

Une fonction du second degré, également appelée fonction quadratique, est une fonction dont l'expression algébrique peut s'écrire sous la forme générale $f(x) = ax^2 + bx + c$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels, avec $a \neq 0$. Si $a=0$, la fonction devient du premier degré.

La représentation graphique d'une fonction du second degré est une parabole.
• Le coefficient $a$ détermine l'ouverture et l'orientation de la parabole :
• Si $a > 0$, la parabole est ouverte vers le haut (elle a un minimum).
• Si $a < 0$, la parabole est ouverte vers le bas (elle a un maximum).
Le sommet* de la parabole est le point où la fonction atteint son minimum ou son maximum. Ses coordonnées sont $S\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)$.
L'axe de symétrie* de la parabole est la droite verticale d'équation $x = -\frac{b}{2a}$, passant par le sommet.

Méthode
Identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$ : À partir de l'expression $f(x) = ax^2 + bx + c$, déterminez les valeurs de $a$, $b$ et $c$.
Déterminer l'orientation de la parabole :
• Si $a > 0$, la parabole est ouverte vers le haut.
• Si $a < 0$, la parabole est ouverte vers le bas.
Calculer les coordonnées du sommet $S$ :
• L'abscisse du sommet est $x_S = -\frac{b}{2a}$.
• L'ordonnée du sommet est $y_S = f(x_S) = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c$.
Déterminer les racines (ou zéros) de la fonction : Les racines sont les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x) = 0$. Pour les trouver, utilisez le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ :
• Si $\Delta > 0$, il y a deux racines réelles distinctes : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Si $\Delta = 0$, il y a une seule racine réelle (double) : $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
• Si $\Delta < 0$, il n'y a pas de racines réelles (la parabole ne coupe pas l'axe des $x$).
Établir le tableau de variation : Le sens de variation dépend du signe de $a$ et de l'abscisse du sommet $x_S$. Par exemple, si $a>0$, la fonction est décroissante sur $]-\infty, x_S]$ et croissante sur $[x_S, +\infty[$. Si $a<0$, c'est l'inverse.
Esquisser le graphique : Placez le sommet, les racines (si elles existent) et l'ordonnée à l'origine $(0, c)$. Utilisez l'axe de symétrie $x = x_S$ pour trouver des points supplémentaires si nécessaire. Reliez les points pour former la parabole.

Exemple
Considérons la fonction $f(x) = x^2 - 6x + 5$. Déterminez l'orientation de sa parabole, les coordonnées de son sommet, ses racines et son tableau de variation.

Corrigé pas à pas
1. Coefficients :
L'expression est de la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$. Ici, $a = 1$, $b = -6$ et $c = 5$.

2. Orientation de la parabole :
Puisque $a = 1 > 0$, la parabole est ouverte vers le haut.

3. Coordonnées du sommet $S$ :
Abscisse du sommet : $x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3$.
Ordonnée du sommet : $y_S = f(3) = (3)^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$.
Le sommet est $S(3, -4)$.

4. Racines de la fonction :
Calculons le discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16$.
Puisque $\Delta = 16 > 0$, il y a deux racines réelles distinctes :
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5$.
Les racines de la fonction sont $x = 1$ et $x = 5$.

5. Tableau de variation :
Puisque $a > 0$, la fonction est décroissante jusqu'au sommet, puis croissante.
| $x$ | $-\infty$ | $3$ | $+\infty$ |
|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $\searrow$ | $-4$ (minimum) | $\nearrow$ |

La fonction est décroissante sur $]-\infty, 3]$ et croissante sur $[3, +\infty[$. Le minimum de la fonction est $-4$, atteint pour $x=3$.

Erreurs fréquentes
Erreurs de calcul avec le discriminant $\Delta$, notamment les signes ou l'oubli de la racine carrée.
Confondre l'abscisse du sommet avec l'ordonnée, ou ne pas calculer $f(x_S)$ pour obtenir l'ordonnée du sommet.
Inverser le sens de variation de la parabole par rapport au signe de $a$ (parabole ouverte vers le haut pour $a<0$ par exemple).
Oublier que si $\Delta < 0$, il n'y a pas de racines réelles, ce qui signifie que la parabole ne coupe pas l'axe des $x$.

Les fonctions de référence

Les fonctions de référence sont des fonctions fondamentales en mathématiques, dont les propriétés (domaine de définition, ensemble image, variations, symétries) et les représentations graphiques sont à connaître. Elles servent de base pour comprendre des fonctions plus complexes par transformations (translations, dilatations, réflexions). Pour chaque fonction, il est crucial de maîtriser son domaine de définition, son ensemble image, ses variations et l'allure générale de sa courbe représentative.

Méthode
Identifier le type de fonction de référence : Reconnaissez l'expression algébrique pour la classer parmi les fonctions de référence (identité, carré, cube, inverse, racine carrée, valeur absolue).
Déterminer le domaine de définition $D_f$ : C'est l'ensemble de toutes les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est définie. Par exemple, une division par zéro ou une racine carrée d'un nombre négatif sont des cas à exclure.
Déterminer l'ensemble image $Im_f$ : C'est l'ensemble de toutes les valeurs que $f(x)$ peut prendre. Cela peut être déduit de l'analyse des variations et du graphique.
Analyser les variations de la fonction : Déterminez sur quels intervalles la fonction est croissante, décroissante ou constante. Cela peut être fait en étudiant le signe de la différence $f(x_2) - f(x_1)$ pour $x_2 > x_1$, ou en connaissant les propriétés de base de la fonction.
Décrire la représentation graphique : Connaître l'allure générale de la courbe est essentiel. Cela inclut les points remarquables (origine, sommet), les asymptotes (pour la fonction inverse) et les symétries.

Exemple
Décrivez la fonction inverse $f(x) = \frac{1}{x}$ en termes de domaine de définition, ensemble image, variations et forme graphique.

Corrigé pas à pas
1. Domaine de définition $D_f$ :
La fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ n'est pas définie lorsque le dénominateur est nul, c'est-à-dire pour $x=0$. Donc, $D_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ ou $]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[$.

2. Ensemble image $Im_f$ :
La fonction ne peut jamais prendre la valeur 0 (car $1/x = 0$ n'a pas de solution). L'ensemble image est $Im_f = \mathbb{R} \setminus \{0\}$ ou $]-\infty, 0[ \cup ]0, +\infty[$.

3. Variations de la fonction :
La fonction inverse est strictement décroissante sur $]-\infty, 0[$ et strictement décroissante sur $]0, +\infty[$. Il est important de noter qu'elle n'est pas décroissante sur son domaine entier car elle n'est pas définie en 0.

4. Description du graphique :
La représentation graphique de la fonction inverse est une hyperbole. Elle possède deux asymptotes :
• L'axe des $y$ (droite d'équation $x=0$) est une asymptote verticale.
• L'axe des $x$ (droite d'équation $y=0$) est une asymptote horizontale.
La courbe est symétrique par rapport à l'origine $(0,0)$. Elle se compose de deux branches, l'une dans le premier quadrant (pour $x>0, y>0$) et l'autre dans le troisième quadrant (pour $x<0, y<0$).

Erreurs fréquentes
Oublier les restrictions du domaine de définition, par exemple pour la fonction inverse ($x \neq 0$) ou la fonction racine carrée ($x \ge 0$).
Confondre les variations d'une fonction sur des intervalles disjoints (ex: dire que la fonction inverse est décroissante sur $\mathbb{R}^*$ au lieu de dire qu'elle est décroissante sur $]-\infty, 0[$ et sur $]0, +\infty[$).
Ne pas connaître l'allure générale des graphiques, ce qui est essentiel pour visualiser les propriétés de la fonction.

Déterminer l'expression d'une fonction du premier degré à partir de deux points

1. Étape 1 : Calculer la pente $a$. Si la droite passe par deux points $A(x_1, y_1)$ et $B(x_2, y_2)$, la pente $a$ est donnée par la formule : $a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$. Assurez-vous que $x_1 \neq x_2$.
2. Étape 2 : Utiliser la pente et un point pour trouver l'ordonnée à l'origine $b$. Une fois $a$ calculé, utilisez l'équation $y = ax + b$ avec les coordonnées de l'un des points (par exemple $A(x_1, y_1)$) : $y_1 = ax_1 + b$. Résolvez cette équation pour $b$.
3. Étape 3 : Écrire l'expression de la fonction. Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ trouvées dans la forme générale $f(x) = ax + b$.

Exemple
Trouvez l'expression de la fonction du premier degré dont la droite représentative passe par les points $P(1, 5)$ et $Q(3, 11)$.

Corrigé pas à pas
1. Calcul de la pente $a$ :
Soient $P(x_1, y_1) = (1, 5)$ et $Q(x_2, y_2) = (3, 11)$.
$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{11 - 5}{3 - 1} = \frac{6}{2} = 3$.
La pente est $a = 3$.

2. Calcul de l'ordonnée à l'origine $b$ :
Utilisons le point $P(1, 5)$ et la pente $a=3$ dans l'équation $y = ax + b$ :
$5 = 3(1) + b$
$5 = 3 + b$
$b = 5 - 3$
$b = 2$.
(Nous aurions obtenu le même résultat avec le point $Q(3, 11)$ : $11 = 3(3) + b \Rightarrow 11 = 9 + b \Rightarrow b = 2$).

3. Expression de la fonction :
En remplaçant $a=3$ et $b=2$ dans $f(x) = ax + b$, nous obtenons $f(x) = 3x + 2$.

Déterminer les racines et le sommet d'une fonction du second degré

1. Étape 1 : Identifier les coefficients $a$, $b$ et $c$. Assurez-vous que la fonction est sous la forme $f(x) = ax^2 + bx + c$.
2. Étape 2 : Calculer le discriminant $\Delta$. Utilisez la formule $\Delta = b^2 - 4ac$.
3. Étape 3 : Déterminer les racines en fonction de $\Delta$.
   • Si $\Delta > 0$, les deux racines sont $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
   • Si $\Delta = 0$, la racine double est $x_0 = -\frac{b}{2a}$.
   • Si $\Delta < 0$, il n'y a pas de racines réelles.
4. Étape 4 : Calculer les coordonnées du sommet $S$.
   • L'abscisse du sommet est $x_S = -\frac{b}{2a}$.
   • L'ordonnée du sommet est $y_S = f(x_S)$. Remplacez $x_S$ dans l'expression de la fonction $f(x)$ pour trouver $y_S$.

Exemple
Déterminez les racines et les coordonnées du sommet de la fonction $f(x) = 2x^2 + 4x - 6$.

Corrigé pas à pas
1. Coefficients : $a = 2$, $b = 4$, $c = -6$.

2. Calcul du discriminant $\Delta$ :
$\Delta = b^2 - 4ac = (4)^2 - 4(2)(-6) = 16 - (-48) = 16 + 48 = 64$.

3. Détermination des racines :
Puisque $\Delta = 64 > 0$, il y a deux racines réelles distinctes :
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 - \sqrt{64}}{2(2)} = \frac{-4 - 8}{4} = \frac{-12}{4} = -3$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-4 + \sqrt{64}}{2(2)} = \frac{-4 + 8}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Les racines sont $x = -3$ et $x = 1$.

4. Calcul des coordonnées du sommet $S$ :
Abscisse du sommet : $x_S = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(2)} = -\frac{4}{4} = -1$.
Ordonnée du sommet : $y_S = f(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) - 6 = 2(1) - 4 - 6 = 2 - 4 - 6 = -8$.
Le sommet est $S(-1, -8)$.

Esquisser le graphique d'une fonction de référence

1. Étape 1 : Identifier la fonction de référence. Reconnaissez la forme de la fonction ($f(x)=x$, $f(x)=x^2$, $f(x)=1/x$, etc.).
2. Étape 2 : Déterminer le domaine de définition. Identifiez les valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction est définie (par exemple, $x \neq 0$ pour $1/x$, $x \ge 0$ pour $\sqrt{x}$).
3. Étape 3 : Placer des points clés. Calculez les coordonnées de quelques points remarquables pour $x$ simples (par exemple $x=-2, -1, 0, 1, 2$). Pour la fonction inverse, choisissez des valeurs proches de 0 (ex: $\pm 0.5$) et éloignées.
4. Étape 4 : Tenir compte des propriétés spécifiques.
   • Symétries : Le graphique est-il symétrique par rapport à l'axe des $y$ (fonction paire, ex: $x^2$, $|x|$) ou par rapport à l'origine (fonction impaire, ex: $x$, $x^3$, $1/x$) ?
   • Asymptotes : Pour la fonction inverse, les axes de coordonnées sont des asymptotes.
   • Point de départ/sommet : Pour $\sqrt{x}$, le point $(0,0)$ est le point de départ. Pour $x^2$ et $|x|$, $(0,0)$ est le sommet.
5. Étape 5 : Tracer la courbe. Reliez les points calculés en respectant les variations (croissante/décroissante) et les propriétés identifiées (symétries, asymptotes, forme générale).

Exemple
Esquissez le graphique de la fonction $f(x) = x^2$.

Corrigé pas à pas
1. Fonction de référence : Il s'agit de la fonction carré.

2. Domaine de définition : $D_f = \mathbb{R}$.

3. Points clés :
• $f(-2) = (-2)^2 = 4 \Rightarrow (-2, 4)$
• $f(-1) = (-1)^2 = 1 \Rightarrow (-1, 1)$
• $f(0) = (0)^2 = 0 \Rightarrow (0, 0)$
• $f(1) = (1)^2 = 1 \Rightarrow (1, 1)$
• $f(2) = (2)^2 = 4 \Rightarrow (2, 4)$

4. Propriétés spécifiques :
• La fonction est paire ($f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)$), donc le graphique est symétrique par rapport à l'axe des $y$.
• Le point $(0,0)$ est le sommet de la parabole.
• La fonction est décroissante sur $]-\infty, 0]$ et croissante sur $[0, +\infty[$.

5. Tracé de la courbe :
Placez les points calculés : $(-2,4)$, $(-1,1)$, $(0,0)$, $(1,1)$, $(2,4)$. Reliez-les par une courbe lisse, en forme de "U" (parabole), ouverte vers le haut, dont le sommet est l'origine et l'axe des $y$ est l'axe de symétrie.

Fonction du premier degré : $f(x) = ax + b$

• Pente : $a$
• Ordonnée à l'origine : $b$
• Racine (si $a \neq 0$) : $x = -\frac{b}{a}$
• Variation : Croissante si $a > 0$, Décroissante si $a < 0$, Constante si $a = 0$

Fonction du second degré : $f(x) = ax^2 + bx + c$

• Orientation de la parabole : Ouverte vers le haut si $a > 0$, Ouverte vers le bas si $a < 0$
• Abscisse du sommet : $x_S = -\frac{b}{2a}$
• Ordonnée du sommet : $y_S = f(x_S)$
• Discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$
• Racines :
• • Si $\Delta > 0$ : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$, $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
• • Si $\Delta = 0$ : $x_0 = -\frac{b}{2a}$ (racine double)
• • Si $\Delta < 0$ : Pas de racines réelles

Fonctions de référence : Propriétés clés

• Identité $f(x) = x$ : $D_f = \mathbb{R}$, $Im_f = \mathbb{R}$, toujours croissante.
• Carré $f(x) = x^2$ : $D_f = \mathbb{R}$, $Im_f = [0, +\infty[$, décroissante sur $]-\infty, 0]$ et croissante sur $[0, +\infty[$. Sommet $(0,0)$.
• Cube $f(x) = x^3$ : $D_f = \mathbb{R}$, $Im_f = \mathbb{R}$, toujours croissante.
• Inverse $f(x) = \frac{1}{x}$ : $D_f = \mathbb{R}^$, $Im_f = \mathbb{R}^$, décroissante sur $]-\infty, 0[$ et sur $]0, +\infty[$. Asymptotes $x=0$ et $y=0$.
• Racine carrée $f(x) = \sqrt{x}$ : $D_f = [0, +\infty[$, $Im_f = [0, +\infty[$, toujours croissante. Point de départ $(0,0)$.
• Valeur absolue $f(x) = |x|$ : $D_f = \mathbb{R}$, $Im_f = [0, +\infty[$, décroissante sur $]-\infty, 0]$ et croissante sur $[0, +\infty[$. Sommet $(0,0)$.