Géométrie : trigonométrie du triangle rectangle, Pythagore, Thalès

Le théorème de Pythagore et sa réciproque

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Si un triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors : $$BC^2 = AB^2 + AC^2$$
Réciproquement, si dans un triangle $ABC$ le plus grand côté vérifie $BC^2 = AB^2 + AC^2$, alors ce triangle est rectangle en $A$.

Méthode
Repérer l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit, qui est le plus long).
Écrire l'égalité de Pythagore avec les lettres des sommets.
Remplacer les côtés connus par leurs valeurs numériques.
Résoudre l'équation pour trouver le carré de la longueur manquante, puis prendre la racine carrée positive.

Exemple
Soit un triangle $ABC$ rectangle en $A$ tel que $AB = 6\text{ cm}$ et $AC = 8\text{ cm}$. Calcule la longueur de l'hypoténuse $[BC]$.

Corrigé pas à pas
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$. D'après le théorème de Pythagore :
$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$
$$BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$
Comme $BC$ est une distance (donc positive) :
$$BC = \sqrt{100} = 10\text{ cm}$$

Erreurs fréquentes
Additionner les carrés pour chercher un côté de l'angle droit au lieu de soustraire.
Oublier de prendre la racine carrée finale et donner $BC^2$ comme résultat.
Appliquer le théorème dans un triangle qui n'est pas rectangle.

Le théorème de Thalès

Soient deux droites $(AB)$ et $(AC)$ sécantes en $A$. Si les points $A, D, B$ sont alignés, les points $A, E, C$ sont alignés dans le même ordre, et si les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles, alors les longueurs des côtés correspondants sont proportionnelles :
$$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$$

Méthode
Vérifier les conditions : deux droites sécantes et deux droites parallèles.
Écrire l'égalité des trois rapports en partant du sommet commun (petit côté sur grand côté ou inversement).
Remplacer les longueurs connues par leurs valeurs.
Utiliser le produit en croix pour calculer la longueur inconnue.

Exemple
Sur la figure ci-dessus, les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles. On donne $AD = 3\text{ cm}$, $AB = 9\text{ cm}$ et $BC = 12\text{ cm}$. Calcule la longueur $DE$.

Corrigé pas à pas
Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont sécantes en $A$, et les droites $(DE)$ et $(BC)$ sont parallèles.
D'après le théorème de Thalès :
$$\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$$
En remplaçant par les valeurs numériques connues :
$$\frac{3}{9} = \frac{DE}{12}$$
Par un produit en croix :
$$DE = \frac{3 \times 12}{9} = \frac{36}{9} = 4\text{ cm}$$

Erreurs fréquentes
Mélanger les sommets dans les rapports (ex. écrire $AD/DB$ au lieu de $AD/AB$).
Appliquer le théorème sans s'assurer au préalable du parallélisme des droites.

Trigonométrie dans le triangle rectangle

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\widehat{A}$ donné :
- $\cos(\widehat{A}) = \frac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
- $\sin(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$
- $\tan(\widehat{A}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$
Le moyen mnémotechnique classique est : CAH-SOH-TOA.

Méthode
Identifier l'hypoténuse, le côté adjacent à l'angle considéré et le côté opposé.
Choisir le bon rapport trigonométrique selon la grandeur connue et celle recherchée.
Poser l'équation trigonométrique et isoler la grandeur inconnue.
Utiliser la calculatrice en mode Degrés (DEG) pour calculer la longueur ou l'angle (touches $\arccos$, $\arcsin$ ou $\arctan$ / $\cos^{-1}$, $\sin^{-1}$, $\tan^{-1}$).

Exemple
Soit un triangle $ABC$ rectangle en $B$ tel que $AC = 10\text{ cm}$ et $\widehat{BAC} = 30^\circ$. Calcule la longueur du côté $[BC]$.

Corrigé pas à pas
Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$ :
- Le côté $[BC]$ est le côté opposé à l'angle $\widehat{BAC}$.
- Le côté $[AC]$ est l'hypoténuse.
On utilise la formule du sinus :
$$\sin(\widehat{BAC}) = \frac{BC}{AC}$$
$$\sin(30^\circ) = \frac{BC}{10}$$
$$BC = 10 \times \sin(30^\circ) = 10 \times 0{,}5 = 5\text{ cm}$$

Erreurs fréquentes
Confondre le côté adjacent et le côté opposé par rapport à l'angle choisi.
Avoir la calculatrice réglée en radians (RAD) au lieu de degrés (DEG).
Écrire un cosinus ou un sinus supérieur à 1 (impossible car l'hypoténuse est le plus grand côté).

Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit avec Pythagore

1. Écrire l'égalité de Pythagore : $\text{hypoténuse}^2 = \text{côté}_1^2 + \text{côté}_2^2$.
2. Isoler le carré du côté recherché en effectuant une soustraction : $\text{côté}_1^2 = \text{hypoténuse}^2 - \text{côté}_2^2$.
3. Remplacer par les valeurs numériques et effectuer les calculs.
4. Prendre la racine carrée positive du résultat.

Exemple
Soit un triangle $DEF$ rectangle en $D$ tel que $EF = 13\text{ cm}$ et $DE = 12\text{ cm}$. Calcule la longueur $DF$.

Corrigé pas à pas
Le triangle $DEF$ est rectangle en $D$, son hypoténuse est $[EF]$.
D'après le théorème de Pythagore :
$$EF^2 = DE^2 + DF^2$$
$$13^2 = 12^2 + DF^2$$
$$169 = 144 + DF^2$$
$$DF^2 = 169 - 144 = 25$$
Comme $DF > 0$, $DF = \sqrt{25} = 5\text{ cm}$.

Calculer un angle dans un triangle rectangle à l'aide de la trigonométrie

1. Repérer les deux côtés dont les longueurs sont connues par rapport à l'angle cherché (opposé, adjacent ou hypoténuse).
2. Choisir la formule appropriée : $\cos$, $\sin$ ou $\tan$ (méthode CAH-SOH-TOA).
3. Écrire le rapport sous forme de fraction numérique.
4. Appliquer la fonction réciproque ($\arccos$, $\arcsin$ ou $\arctan$) sur la calculatrice réglée en degrés.

Exemple
Soit un triangle $KLM$ rectangle en $L$ avec $LM = 7\text{ cm}$ et $KM = 10\text{ cm}$. Calcule la mesure de l'angle $\widehat{LMK}$ arrondie au dixième de degré.

Corrigé pas à pas
Dans le triangle $KLM$ rectangle en $L$, par rapport à l'angle $\widehat{LMK}$ :
- $[LM]$ est le côté adjacent ($7\text{ cm}$).
- $[KM]$ est l'hypoténuse ($10\text{ cm}$).
On utilise le cosinus :
$$\cos(\widehat{LMK}) = \frac{LM}{KM} = \frac{7}{10} = 0{,}7$$
À la calculatrice :
$$\widehat{LMK} = \arccos(0{,}7) \approx 45{,}57^\circ$$
Arrondi au dixième de degré, $\widehat{LMK} \approx 45{,}6^\circ$.

Théorème de Pythagore

• Triangle rectangle en $A$ : $BC^2 = AB^2 + AC^2$ (où $[BC]$ est l'hypoténuse).
• Pour trouver l'hypoténuse : additionner les carrés puis prendre la racine carrée.
• Pour trouver un côté de l'angle droit : soustraire les carrés ($AB^2 = BC^2 - AC^2$) puis prendre la racine carrée.

Théorème de Thalès

• Conditions : droites sécantes et droites parallèles.
• Égalité des rapports : $\frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC} = \frac{DE}{BC}$ (en partant du sommet commun $A$).
• Résolution par la règle de trois (produit en croix).

Trigonométrie (CAH - SOH - TOA)

• $\cos(\text{angle}) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
• $\sin(\text{angle}) = \frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$
• $\tan(\text{angle}) = \frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$
• Toujours vérifier que la calculatrice est en mode Degrés (DEG).