Figures planes : propriétés des triangles et quadrilatères

Les triangles : classification et somme des angles

Un triangle est un polygone à trois côtés et trois sommets. On le classe selon ses côtés (scalène : trois côtés de longueurs différentes ; isocèle : au moins deux côtés de même longueur ; équilatéral : trois côtés de même longueur) et selon ses angles (acutangle : trois angles aigus ; rectangle : un angle droit ; obtusangle : un angle obtus). Dans tout triangle, la somme des amplitudes des angles intérieurs vaut toujours $180^\circ$.

Méthode
Pour calculer un angle manquant dans un triangle, additionner les amplitudes des deux angles connus.
Soustraire cette somme de $180^\circ$.
Dans un triangle isocèle, les deux angles opposés aux côtés de même longueur ont la même amplitude.
Dans un triangle équilatéral, les trois angles mesurent chacun $180^\circ \div 3 = 60^\circ$.

Exemple
Dans un triangle $ABC$ isocèle en $A$, l'angle au sommet principal $\widehat{A}$ mesure $50^\circ$. Calcule l'amplitude des deux autres angles $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$.

Corrigé pas à pas
Comme le triangle $ABC$ est isocèle en $A$, les angles à la base $\widehat{B}$ et $\widehat{C}$ ont la même amplitude. La somme des amplitudes vaut $180^\circ$. La somme des deux angles à la base est donc $180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$. Chacun mesure $130^\circ \div 2 = 65^\circ$. Donc $\widehat{B} = 65^\circ$ et $\widehat{C} = 65^\circ$.

Erreurs fréquentes
Oublier que la somme des angles d'un triangle vaut $180^\circ$ et non $360^\circ$.
Confondre le sommet principal d'un triangle isocèle avec l'un des sommets de la base.

Les quadrilatères particuliers et leurs propriétés

Un quadrilatère est un polygone à quatre côtés. Les quadrilatères particuliers sont classés selon leurs parallélismes, longueurs de côtés et angles :\n- Trapèze : possède au moins une paire de côtés opposés parallèles.\n- Parallélogramme : côtés opposés parallèles deux à deux et de même longueur ; diagonales qui se coupent en leur milieu ; angles opposés de même amplitude.\n- Rectangle : parallélogramme ayant 4 angles droits ; ses diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu.\n- Losange : parallélogramme ayant 4 côtés de même longueur ; ses diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.\n- Carré : quadrilatère à la fois rectangle et losange (4 angles droits, 4 côtés de même longueur, diagonales de même longueur, perpendiculaires et se coupant en leur milieu).

Méthode
Pour identifier la nature d'un quadrilatère, observer ses côtés (parallélisme, égalité de longueur).
Vérifier la présence d'angles droits.
Analyser les propriétés de ses diagonales (même longueur, perpendiculaires, milieu commun).

Exemple
Un quadrilatère $KLMN$ possède des diagonales $[KM]$ et $[LN]$ de même longueur, qui se coupent en leur milieu sans être perpendiculaires. Quelle est la nature précise de $KLMN$ ?

Corrigé pas à pas
Puisque ses diagonales se coupent en leur milieu, $KLMN$ est un parallélogramme. De plus, ses diagonales ont la même longueur, ce qui est la propriété caractéristique du rectangle. N'ayant pas ses diagonales perpendiculaires, ce n'est pas un carré. Donc $KLMN$ est un rectangle.

Erreurs fréquentes
Penser qu'un losange a forcément des angles droits (c'est le cas uniquement s'il est aussi un carré).
Confondre les propriétés des diagonales du rectangle (égales) et du losange (perpendiculaires).

Calculer un angle inconnu dans un triangle

1. Repérer les amplitudes des angles déjà donnés ou déduits du codage (angle droit = $90^\circ$).
2. Additionner les deux amplitudes connues.
3. Soustraire cette somme à $180^\circ$ pour trouver le troisième angle.

Exemple
Dans un triangle $RST$, $\widehat{R} = 42^\circ$ et $\widehat{S} = 78^\circ$. Calcule $\widehat{T}$.

Corrigé pas à pas
La somme des angles d'un triangle vaut $180^\circ$. On calcule d'abord la somme des angles connus : $42^\circ + 78^\circ = 120^\circ$. Puis on soustrait à $180^\circ$ : $\widehat{T} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Reconnaître un quadrilatère à partir des diagonales

1. Vérifier si les diagonales se coupent en leur milieu : si oui, c'est au moins un parallélogramme.
2. Vérifier si elles sont perpendiculaires : si oui, le parallélogramme devient un losange.
3. Vérifier si elles ont la même longueur : si oui, le parallélogramme devient un rectangle.
4. Si les diagonales ont à la fois la même longueur ET sont perpendiculaires (avec milieu commun), c'est un carré.

Exemple
Les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, forment un angle droit et mesurent toutes les deux $10\text{ cm}$. De quel quadrilatère s'agit-il ?

Corrigé pas à pas
Les diagonales se coupent en leur milieu, donc c'est un parallélogramme. Elles sont perpendiculaires, donc c'est un losange. Elles ont la même longueur ($10\text{ cm}$), donc c'est un rectangle. Un quadrilatère à la fois losange et rectangle est un carré.

Somme des angles

• Dans tout triangle : somme des angles $= 180^\circ$.
• Dans un triangle isocèle : 2 angles de même mesure à la base.
• Dans un triangle équilatéral : 3 angles égaux à $60^\circ$.
• Dans un quadrilatère convexe : somme des angles $= 360^\circ$.

Diagonales des quadrilatères

• Parallélogramme : diagonales se coupent en leur milieu.
• Rectangle : diagonales de même longueur et se coupent en leur milieu.
• Losange : diagonales perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
• Carré : diagonales de même longueur, perpendiculaires et se coupent en leur milieu.