Le théorème de Pythagore

Énoncé du théorème et calcul de l'hypoténuse

Dans un triangle rectangle, l'hypoténuse est le côté opposé à l'angle droit. C'est toujours le côté le plus long du triangle.

Théorème de Pythagore : Dans tout triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés (les côtés de l'angle droit).

Si le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, alors l'hypoténuse est $[BC]$ et on a l'égalité :
$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$

Méthode
Repérer l'angle droit et identifier l'hypoténuse (le côté en face de l'angle droit).
Écrire la relation de Pythagore avec les lettres du triangle.
Remplacer les côtés connus par leurs valeurs numériques.
Calculer les carrés et faire la somme.
Extraire la racine carrée du résultat pour obtenir la longueur de l'hypoténuse et ajouter l'unité.

Exemple
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que $AB = 3\text{ cm}$ et $AC = 4\text{ cm}$. Calcule la longueur de l'hypoténuse $[BC]$.

Corrigé pas à pas
Le triangle $ABC$ est rectangle en $A$, son hypoténuse est $[BC]$.
D'après le théorème de Pythagore :
$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$
$$BC^2 = 3^2 + 4^2$$
$$BC^2 = 9 + 16 = 25$$
Comme une longueur est un nombre positif :
$$BC = \sqrt{25} = 5\text{ cm}$$
La longueur de l'hypoténuse $[BC]$ est égale à $5\text{ cm}$.

Erreurs fréquentes
Oublier de vérifier que le triangle est rectangle avant d'utiliser le théorème.
Confondre l'hypoténuse avec l'un des côtés de l'angle droit.
Additionner les longueurs directement sans les élever au carré ($AB + AC \neq BC$).
Oublier de prendre la racine carrée à la dernière étape.

Calculer la longueur d'un côté de l'angle droit

Lorsque l'on connaît la longueur de l'hypoténuse et celle d'un côté de l'angle droit, on peut trouver la longueur du troisième côté en soustrayant le carré connu au carré de l'hypoténuse.

Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ :
$$AB^2 = BC^2 - AC^2$$
$$AC^2 = BC^2 - AB^2$$

Méthode
Vérifier que le triangle est rectangle et identifier l'hypoténuse.
Écrire l'égalité de Pythagore sous sa forme standard : $\text{hypoténuse}^2 = \text{côté}_1^2 + \text{côté}_2^2$.
Isoler le côté recherché en effectuant une soustraction : $\text{côté recherché}^2 = \text{hypoténuse}^2 - \text{côté connu}^2$.
Calculer la différence des carrés.
Prendre la racine carrée du résultat pour obtenir la mesure manquante.

Exemple
Soit un triangle $RST$ rectangle en $S$ tel que $RT = 13\text{ cm}$ et $RS = 5\text{ cm}$. Calcule la longueur du côté $[ST]$.

Corrigé pas à pas
Le triangle $RST$ est rectangle en $S$, son hypoténuse est $[RT]$.
D'après le théorème de Pythagore :
$$RT^2 = RS^2 + ST^2$$
$$13^2 = 5^2 + ST^2$$
$$169 = 25 + ST^2$$
On isole $ST^2$ :
$$ST^2 = 169 - 25 = 144$$
Comme une longueur est positive :
$$ST = \sqrt{144} = 12\text{ cm}$$
La longueur du côté $[ST]$ est de $12\text{ cm}$.

Erreurs fréquentes
Additionner les carrés au lieu de les soustraire lorsqu'on cherche un côté de l'angle droit.
Soustraire le carré de l'hypoténuse du carré d'un côté (obtenir un nombre négatif avant la racine carrée).

Calculer l'hypoténuse d'un triangle rectangle

1. Écrire la phrase d'introduction : nommer le triangle et préciser en quel sommet se trouve l'angle droit.
2. Écrire la formule de Pythagore avec les lettres du triangle (l'hypoténuse seule d'un côté).
3. Remplacer les lettres par les valeurs données.
4. Calculer les carrés puis leur somme.
5. Calculer la racine carrée du résultat et donner la valeur exacte (et l'unité).

Exemple
Dans le triangle $MNP$ rectangle en $M$, on a $MN = 12\text{ cm}$ et $MP = 16\text{ cm}$. Calcule $NP$.

Corrigé pas à pas
Le triangle $MNP$ est rectangle en $M$, donc l'hypoténuse est $[NP]$.
D'après le théorème de Pythagore :
$$NP^2 = MN^2 + MP^2$$
$$NP^2 = 12^2 + 16^2$$
$$NP^2 = 144 + 256 = 400$$
$$NP = \sqrt{400} = 20\text{ cm}$$
La longueur $NP$ vaut $20\text{ cm}$.

Calculer un côté de l'angle droit

1. Citer le triangle rectangle et son angle droit.
2. Écrire la relation de Pythagore de départ.
3. Exprimer le carré du côté cherché comme la différence entre le carré de l'hypoténuse et le carré de l'autre côté.
4. Remplacer par les valeurs et effectuer la soustraction.
5. Prendre la racine carrée du résultat.

Exemple
Soit $DEF$ un triangle rectangle en $D$ avec $EF = 10\text{ cm}$ et $DE = 8\text{ cm}$. Calcule $DF$.

Corrigé pas à pas
Le triangle $DEF$ est rectangle en $D$, l'hypoténuse est $[EF]$.
D'après le théorème de Pythagore :
$$EF^2 = DE^2 + DF^2$$
$$10^2 = 8^2 + DF^2$$
$$100 = 64 + DF^2$$
$$DF^2 = 100 - 64 = 36$$
$$DF = \sqrt{36} = 6\text{ cm}$$
La longueur $DF$ vaut $6\text{ cm}$.

Théorème de Pythagore

• Condition d'application : le triangle doit impérativement être rectangle.
• Hypoténuse : le plus grand côté, situé en face de l'angle droit.
• Formule générale : $\text{hypoténuse}^2 = \text{côté}_1^2 + \text{côté}_2^2$.
• Pour trouver l'hypoténuse : $\text{hypoténuse} = \sqrt{\text{côté}_1^2 + \text{côté}_2^2}$.
• Pour trouver un côté de l'angle droit : $\text{côté}_1^2 = \text{hypoténuse}^2 - \text{côté}_2^2$.