Statistiques : moyenne, effectifs, fréquences

1. Vocabulaire de base en statistiques : population, individu, caractère, effectif

Les statistiques sont une branche des mathématiques qui permet de collecter, organiser, analyser et interpréter des données. Pour cela, il faut comprendre le vocabulaire spécifique.
• Une population est l'ensemble des éléments que l'on étudie. Cela peut être des personnes, des objets, des animaux, etc.
• Un individu est un élément de cette population.
• Un caractère est la propriété ou la caractéristique que l'on étudie sur chaque individu de la population. Le caractère peut être :
• Qualitatif : il ne peut pas être mesuré par un nombre (ex: couleur des yeux, sport préféré).
• Quantitatif : il peut être mesuré par un nombre (ex: taille, âge, nombre de frères et sœurs). C'est sur ce type de caractère que nous allons nous concentrer.
• L'effectif d'une valeur ou d'une catégorie est le nombre de fois que cette valeur ou catégorie apparaît dans la population. C'est le nombre d'individus qui possèdent cette caractéristique.
• L'effectif total est le nombre total d'individus dans la population étudiée.

Exemple
Dans une classe de 2e secondaire, on demande à chaque élève combien de frères et sœurs il a. Voici les réponses obtenues : 1, 0, 2, 1, 3, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 3, 1, 2, 0, 1.

Corrigé pas à pas
Dans cet exemple :
• La population est l'ensemble des élèves de la classe de 2e secondaire.
• Un individu est un élève de cette classe.
• Le caractère étudié est le 'nombre de frères et sœurs'. C'est un caractère quantitatif.
• Pour la valeur '0 frère ou sœur', l'effectif est 5 (il y a 5 élèves qui n'ont pas de frères ou sœurs).
• Pour la valeur '1 frère ou sœur', l'effectif est 9.
• Pour la valeur '2 frères ou sœurs', l'effectif est 4.
• Pour la valeur '3 frères ou sœurs', l'effectif est 2.
• L'effectif total est le nombre total d'élèves, soit $5 + 9 + 4 + 2 = 20$ élèves.

Erreurs fréquentes
Confondre l'individu et la population. L'individu est une seule personne ou un seul objet, la population est l'ensemble.
Confondre la valeur du caractère et son effectif. Par exemple, '3 frères et sœurs' est une valeur du caractère, tandis que '2 élèves' est l'effectif de cette valeur.

2. Calculer une fréquence

La fréquence d'une valeur ou d'une catégorie est la proportion de cette valeur ou catégorie par rapport à l'effectif total. Elle s'exprime souvent sous forme de fraction, de nombre décimal (entre 0 et 1) ou de pourcentage (entre 0% et 100%). La somme de toutes les fréquences (en décimal) doit toujours être égale à 1, et la somme de toutes les fréquences (en pourcentage) doit être égale à 100%.

Méthode
Identifiez l'effectif de la valeur ou de la catégorie que vous étudiez.
Identifiez l'effectif total de la population.
Calculez la fréquence en divisant l'effectif de la valeur par l'effectif total : $\text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de la valeur}}{\text{Effectif total}}$.
Si nécessaire, multipliez le résultat par 100 pour l'exprimer en pourcentage.

Exemple
Reprenons l'exemple des élèves et de leurs frères et sœurs. Les effectifs étaient :
• 0 frère ou sœur : 5 élèves
• 1 frère ou sœur : 9 élèves
• 2 frères ou sœurs : 4 élèves
• 3 frères ou sœurs : 2 élèves
L'effectif total est 20 élèves.
Calcule la fréquence des élèves ayant 0 frère ou sœur et la fréquence des élèves ayant 1 frère ou sœur, puis exprime-les en pourcentage.

Corrigé pas à pas
• Fréquence des élèves ayant 0 frère ou sœur :
$\text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de 0}}{\text{Effectif total}} = \frac{5}{20}$
En nombre décimal : $\frac{5}{20} = 0,25$
En pourcentage : $0,25 \times 100 = 25\%$
• Fréquence des élèves ayant 1 frère ou sœur :
$\text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de 1}}{\text{Effectif total}} = \frac{9}{20}$
En nombre décimal : $\frac{9}{20} = 0,45$
En pourcentage : $0,45 \times 100 = 45\%$

Erreurs fréquentes
Oublier de diviser par l'effectif total. La fréquence est toujours une proportion.
Ne pas exprimer la fréquence sous la forme demandée (fraction, décimal ou pourcentage).
Arrondir trop tôt ou de manière incorrecte, ce qui peut fausser la somme des fréquences (qui doit être 1 ou 100%).

3. Calculer la moyenne arithmétique

La moyenne arithmétique (souvent appelée simplement 'moyenne') est une mesure de tendance centrale qui représente la valeur typique d'une série de données. Elle est calculée en additionnant toutes les valeurs et en divisant le résultat par le nombre total de valeurs.

Méthode
Pour une série de données non groupées (liste de valeurs) :
1. Additionnez toutes les valeurs de la série.
2. Divisez cette somme par le nombre total de valeurs.
Pour une série de données groupées (avec des effectifs) :
1. Pour chaque valeur, multipliez la valeur par son effectif.
2. Additionnez tous les produits obtenus.
3. Divisez cette somme par l'effectif total (la somme de tous les effectifs).

Exemple
Exemple 1 : Moyenne simple
Un élève a obtenu les notes suivantes à ses évaluations de mathématiques : 12, 15, 9, 14, 10. Calcule sa moyenne.

Exemple 2 : Moyenne pondérée
Dans une classe, les notes obtenues à une évaluation sont regroupées dans le tableau suivant :

| Note | Effectif |
| :--- | :------- |
| 8 | 3 |
| 10 | 5 |
| 12 | 7 |
| 14 | 4 |
| 16 | 1 |

Calcule la note moyenne de la classe.

Corrigé pas à pas
Exemple 1 : Moyenne simple
1. Somme des notes : $12 + 15 + 9 + 14 + 10 = 60$
2. Nombre total de notes : 5
3. Moyenne : $\frac{60}{5} = 12$
La moyenne de l'élève est 12.

Exemple 2 : Moyenne pondérée
1. Calcul des produits (Note $\times$ Effectif) :
• $8 \times 3 = 24$
• $10 \times 5 = 50$
• $12 \times 7 = 84$
• $14 \times 4 = 56$
• $16 \times 1 = 16$
2. Somme de tous les produits : $24 + 50 + 84 + 56 + 16 = 230$
3. Effectif total (somme des effectifs) : $3 + 5 + 7 + 4 + 1 = 20$
4. Moyenne : $\frac{230}{20} = 11,5$
La note moyenne de la classe est 11,5.

Erreurs fréquentes
Oublier de diviser par le nombre total de valeurs (ou l'effectif total).
Pour une moyenne pondérée, ne pas multiplier chaque valeur par son effectif avant d'additionner. C'est une erreur courante de simplement additionner les valeurs différentes puis diviser par le nombre de valeurs différentes.
Faire des erreurs de calcul, surtout avec de longues listes de nombres ou de grands effectifs.

Calculer une fréquence à partir d'un effectif

1. Étape 1 : Identifier l'effectif de la valeur ou de la catégorie. C'est le nombre de fois que la caractéristique apparaît.
2. Étape 2 : Identifier l'effectif total. C'est le nombre total d'individus dans l'étude.
3. Étape 3 : Calculer le rapport. Divisez l'effectif de la valeur par l'effectif total. Le résultat est un nombre décimal entre 0 et 1.
4. Étape 4 : Convertir en pourcentage (si demandé). Multipliez le résultat de l'étape 3 par 100.

Exemple
Dans un groupe de 40 personnes, 12 personnes préfèrent le chocolat comme parfum de glace. Calcule la fréquence de préférence pour le chocolat, en pourcentage.

Corrigé pas à pas
• Étape 1 : L'effectif des personnes préférant le chocolat est 12.
• Étape 2 : L'effectif total est 40 personnes.
• Étape 3 : Rapport : $\frac{12}{40} = 0,3$.
• Étape 4 : En pourcentage : $0,3 \times 100 = 30\%$.
La fréquence de préférence pour le chocolat est de $30\%$.

Calculer une moyenne arithmétique simple

1. Étape 1 : Additionner toutes les valeurs. Faites la somme de tous les nombres de la série de données.
2. Étape 2 : Compter le nombre total de valeurs. Déterminez combien il y a de nombres dans la série.
3. Étape 3 : Diviser la somme par le nombre de valeurs. Le résultat est la moyenne arithmétique.

Exemple
Calcule la moyenne des températures suivantes relevées sur une semaine (en degrés Celsius) : 18, 20, 17, 19, 22, 21, 18.

Corrigé pas à pas
• Étape 1 : Somme des températures : $18 + 20 + 17 + 19 + 22 + 21 + 18 = 135$.
• Étape 2 : Nombre de températures (jours) : 7.
• Étape 3 : Moyenne : $\frac{135}{7} \approx 19,29$.
La température moyenne de la semaine est d'environ $19,29^{\circ}C$.

Calculer une moyenne arithmétique pondérée

1. Étape 1 : Multiplier chaque valeur par son effectif. Pour chaque ligne du tableau de données, calculez le produit de la valeur par l'effectif correspondant.
2. Étape 2 : Additionner tous les produits obtenus. Faites la somme de tous les résultats de l'étape 1.
3. Étape 3 : Calculer l'effectif total. Faites la somme de tous les effectifs.
4. Étape 4 : Diviser la somme des produits par l'effectif total. Le résultat est la moyenne pondérée.

Exemple
Un sondage sur le nombre de télévisions par foyer a donné les résultats suivants :

| Nombre de télévisions | Effectif des foyers |
| :-------------------- | :------------------ |
| 0 | 5 |
| 1 | 15 |
| 2 | 10 |
| 3 | 3 |

Calcule le nombre moyen de télévisions par foyer.

Corrigé pas à pas
• Étape 1 : Calcul des produits :
• $0 \times 5 = 0$
• $1 \times 15 = 15$
• $2 \times 10 = 20$
• $3 \times 3 = 9$
• Étape 2 : Somme des produits : $0 + 15 + 20 + 9 = 44$.
• Étape 3 : Effectif total : $5 + 15 + 10 + 3 = 33$.
• Étape 4 : Moyenne : $\frac{44}{33} \approx 1,33$.
Le nombre moyen de télévisions par foyer est d'environ 1,33.

Vocabulaire essentiel

• Population : Ensemble des éléments étudiés.
• Individu : Un élément de la population.
• Caractère : La propriété étudiée (quantitatif si mesurable par un nombre).
• Effectif d'une valeur : Le nombre de fois que cette valeur apparaît.
• Effectif total : Le nombre total d'individus dans la population.

Formules clés

• Fréquence : $\text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de la valeur}}{\text{Effectif total}}$
• Pourcentage : $\text{Fréquence (en \%)} = \text{Fréquence (décimale)} \times 100$
• Moyenne simple : $\text{Moyenne} = \frac{\text{Somme de toutes les valeurs}}{\text{Nombre total de valeurs}}$
• Moyenne pondérée : $\text{Moyenne} = \frac{\text{Somme des (valeur} \times \text{effectif)}}{\text{Effectif total}}$