Nombres entiers, décimaux et fractions : sens et écritures

1. Les nombres entiers

Les nombres entiers sont les nombres qui peuvent s'écrire sans virgule ni partie fractionnaire. Ils peuvent être positifs, négatifs ou nuls. L'ensemble des nombres entiers est noté $\mathbb{Z}$.

Méthode
Identifier si le nombre possède une partie décimale ou fractionnaire non nulle.
Si ce n'est pas le cas, le nombre est un entier.

Exemple
Donnez trois exemples de nombres entiers et un contre-exemple.

Corrigé pas à pas
Exemples de nombres entiers : $5$, $-12$, $0$, $1001$. Contre-exemple : $3,14$ (nombre décimal), $\frac{1}{2}$ (fraction).

Erreurs fréquentes
Confondre les nombres entiers avec les nombres naturels (qui sont les entiers positifs ou nuls). Les entiers incluent les nombres négatifs.

2. Les nombres décimaux

Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Il peut aussi s'écrire sous forme de fraction décimale, c'est-à-dire une fraction dont le dénominateur est une puissance de $10$ (comme $10$, $100$, $1000$, etc.). L'ensemble des nombres décimaux est noté $\mathbb{D}$.

Méthode
Pour identifier un nombre décimal, vérifiez s'il a un nombre fini de chiffres après la virgule.
Pour l'écrire sous forme de fraction décimale : la partie décimale indique le dénominateur (dixième $\rightarrow 10$, centième $\rightarrow 100$, etc.). Le numérateur est le nombre sans virgule.

Exemple
Écrivez le nombre $4,25$ sous forme de fraction décimale et expliquez sa composition.

Corrigé pas à pas
Le nombre $4,25$ est composé d'une partie entière ($4$) et d'une partie décimale ($25$). Il se lit 'quatre virgule vingt-cinq' ou 'quatre et vingt-cinq centièmes'.
Pour l'écrire sous forme de fraction décimale : il y a deux chiffres après la virgule, donc le dénominateur sera $100$. On écrit le nombre sans la virgule au numérateur : $\frac{425}{100}$.
On peut aussi l'écrire comme une somme : $4 + \frac{25}{100}$.

Erreurs fréquentes
Oublier que les nombres entiers sont aussi des nombres décimaux (par exemple, $5 = 5,0 = \frac{50}{10}$).
Confondre un nombre décimal avec un nombre ayant une infinité de chiffres après la virgule (par exemple, $\frac{1}{3} = 0,333...$ n'est pas un décimal).

3. Les fractions

Une fraction est une écriture de la forme $\frac{a}{b}$, où $a$ est le numérateur et $b$ est le dénominateur. Le dénominateur $b$ doit être un nombre entier non nul. Une fraction représente :
• Une partie d'un tout : par exemple, $\frac{3}{4}$ d'un gâteau.
• Un quotient : $\frac{a}{b}$ est le résultat de la division de $a$ par $b$.
• Un opérateur : appliquer $\frac{a}{b}$ à une quantité signifie multiplier cette quantité par $a$ et diviser par $b$.

Méthode
Pour comprendre le sens d'une fraction, identifiez le numérateur (combien de parts) et le dénominateur (en combien de parts le tout est divisé).
Pour simplifier une fraction, divisez le numérateur et le dénominateur par un même nombre entier non nul (un diviseur commun) jusqu'à obtenir une fraction irréductible (qui ne peut plus être simplifiée).

Exemple
Expliquez le sens de la fraction $\frac{2}{5}$ et simplifiez la fraction $\frac{12}{18}$.

Corrigé pas à pas
La fraction $\frac{2}{5}$ signifie que l'on prend $2$ parts d'un tout qui a été divisé en $5$ parts égales.
Pour simplifier $\frac{12}{18}$ :
1. On cherche un diviseur commun à $12$ et $18$. Par exemple, $2$.
$\frac{12 \div 2}{18 \div 2} = \frac{6}{9}$
2. On cherche un diviseur commun à $6$ et $9$. Par exemple, $3$.
$\frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$
La fraction $\frac{2}{3}$ est irréductible car $2$ et $3$ n'ont pas de diviseur commun autre que $1$. On aurait pu diviser directement par $6$ (le plus grand commun diviseur de $12$ et $18$).
$\frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$

Erreurs fréquentes
Oublier que le dénominateur ne peut jamais être zéro.
Ajouter ou soustraire des fractions sans les mettre au même dénominateur (erreur hors du cadre de 'sens et écritures', mais fréquente).
Ne pas simplifier une fraction à sa forme irréductible.

Écrire un nombre décimal sous forme de fraction décimale

1. Comptez le nombre de chiffres après la virgule dans le nombre décimal.
2. Si il y a 1 chiffre après la virgule, le dénominateur sera $10$.
3. Si il y a 2 chiffres après la virgule, le dénominateur sera $100$.
4. Si il y a 3 chiffres après la virgule, le dénominateur sera $1000$. Et ainsi de suite.
5. Écrivez le nombre décimal sans la virgule comme numérateur de la fraction.

Exemple
Écrivez $3,14$ sous forme de fraction décimale.

Corrigé pas à pas
1. Le nombre $3,14$ a deux chiffres après la virgule (le $1$ et le $4$).
2. Le dénominateur sera donc $100$.
3. Le nombre $3,14$ sans la virgule est $314$.
4. Donc, $3,14 = \frac{314}{100}$.

Convertir une fraction en écriture décimale

1. Effectuez la division du numérateur par le dénominateur.
2. Si la division se termine (le reste est $0$), le résultat est un nombre décimal.
3. Si la division ne se termine pas et que les chiffres se répètent à l'infini, ce n'est pas un nombre décimal (mais un nombre rationnel).

Exemple
Convertissez $\frac{3}{4}$ et $\frac{7}{20}$ en écriture décimale.

Corrigé pas à pas
Pour $\frac{3}{4}$ : On divise $3$ par $4$.
$3 \div 4 = 0,75$.
Donc, $\frac{3}{4} = 0,75$.
Pour $\frac{7}{20}$ : On divise $7$ par $20$.
$7 \div 20 = 0,35$.
Donc, $\frac{7}{20} = 0,35$.

Simplifier une fraction

1. Trouvez un diviseur commun (un nombre entier non nul qui divise à la fois le numérateur et le dénominateur) autre que $1$.
2. Divisez le numérateur et le dénominateur par ce diviseur commun.
3. Répétez les étapes 1 et 2 jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de diviseur commun autre que $1$. La fraction obtenue est alors irréductible.

Exemple
Simplifiez la fraction $\frac{30}{45}$.

Corrigé pas à pas
1. On cherche un diviseur commun à $30$ et $45$. On peut voir que les deux nombres se terminent par $0$ ou $5$, donc ils sont divisibles par $5$.
2. Divisons par $5$ : $\frac{30 \div 5}{45 \div 5} = \frac{6}{9}$.
3. Maintenant, on cherche un diviseur commun à $6$ et $9$. Les deux sont divisibles par $3$.
4. Divisons par $3$ : $\frac{6 \div 3}{9 \div 3} = \frac{2}{3}$.
5. La fraction $\frac{2}{3}$ est irréductible car $2$ et $3$ n'ont pas de diviseur commun autre que $1$.
Donc, $\frac{30}{45} = \frac{2}{3}$.

Nombres entiers

• Nombres sans partie décimale ni fractionnaire.
• Peuvent être positifs, négatifs ou nuls.
• Exemples : $..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...$

Nombres décimaux

• Nombres avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
• Peuvent s'écrire sous forme de fraction décimale (dénominateur puissance de $10$).
• Tous les nombres entiers sont des décimaux ($5 = 5,0$).
• Exemples : $3,14$; $-0,5$; $\frac{1}{2} = 0,5$; $7,0$.

Fractions

• Écriture $\frac{a}{b}$ où $a$ est le numérateur et $b$ le dénominateur ($b \neq 0$).
• Représente une partie d'un tout, un quotient ou un opérateur.
• Fraction irréductible : fraction simplifiée au maximum, où le numérateur et le dénominateur n'ont plus de diviseur commun autre que $1$.

Passage d'une écriture à l'autre

• Décimal $\rightarrow$ Fraction décimale : $0,75 = \frac{75}{100}$.
• Fraction $\rightarrow$ Décimal : Effectuer la division du numérateur par le dénominateur (si la division se termine). $\frac{3}{4} = 0,75$.