Proportionnalité et pourcentages

La proportionnalité

Deux grandeurs sont dites proportionnelles si l'on peut passer des valeurs de l'une aux valeurs de l'autre en multipliant (ou en divisant) toujours par le même nombre. Ce nombre constant est appelé le coefficient de proportionnalité.
Une situation de proportionnalité peut être représentée dans un tableau. Si les grandeurs sont proportionnelles, alors le quotient de chaque valeur de la deuxième grandeur par la valeur correspondante de la première grandeur est constant.

Méthode
1. Identifier les grandeurs : Déterminez quelles sont les deux quantités que vous comparez.
2. Vérifier la proportionnalité : Pour chaque paire de valeurs correspondantes, divisez la valeur de la deuxième grandeur par la valeur de la première grandeur. Si tous les quotients sont égaux, alors la situation est proportionnelle.
3. Calculer le coefficient de proportionnalité : Le quotient constant obtenu à l'étape 2 est le coefficient de proportionnalité. Il permet de passer de la première grandeur à la deuxième par multiplication, et de la deuxième à la première par division.

Exemple
Un maraîcher vend des pommes. Voici les prix affichés :
- 2 kg de pommes coûtent 3 €
- 5 kg de pommes coûtent 7,50 €
- 7 kg de pommes coûtent 10,50 €
Cette situation est-elle une situation de proportionnalité ? Si oui, quel est le prix au kilogramme ?

Corrigé pas à pas
Pour vérifier si la situation est proportionnelle, nous allons calculer le rapport entre le prix et la masse pour chaque cas :
- Pour 2 kg : $\frac{3 \text{ €}}{2 \text{ kg}} = 1,5 \text{ €/kg}$
- Pour 5 kg : $\frac{7,50 \text{ €}}{5 \text{ kg}} = 1,5 \text{ €/kg}$
- Pour 7 kg : $\frac{10,50 \text{ €}}{7 \text{ kg}} = 1,5 \text{ €/kg}$

Nous constatons que le rapport entre le prix et la masse est toujours le même (1,5). Par conséquent, cette situation est une situation de proportionnalité.
Le coefficient de proportionnalité est 1,5. Cela signifie que le prix au kilogramme est de 1,50 €.

Erreurs fréquentes
Confondre proportionnalité et relation additive : Une situation n'est pas proportionnelle si l'on passe d'une grandeur à l'autre en ajoutant (ou soustrayant) toujours le même nombre. Par exemple, l'âge d'une personne et l'âge de son frère né 3 ans plus tard ne sont pas proportionnels (il y a toujours 3 ans d'écart, c'est une relation additive).
Ne pas vérifier toutes les paires de valeurs : Il faut s'assurer que le coefficient est constant pour toutes les paires de valeurs données, et pas seulement pour une ou deux.

Les pourcentages

Un pourcentage est une façon d'exprimer une proportion ou une fraction par rapport à 100. Le symbole '%' signifie 'pour cent'. Ainsi, $t\%$ représente la fraction $\frac{t}{100}$.
Les pourcentages sont très utilisés pour exprimer des parts, des réductions, des augmentations, des réussites, etc.

Méthode
1. Calculer un pourcentage d'une quantité : Pour calculer $t\%$ d'une quantité $Q$, on multiplie $Q$ par $\frac{t}{100}$.
Formule : $\text{Part} = Q \times \frac{t}{100}$
2. Exprimer une proportion en pourcentage : Pour exprimer une partie $P$ d'un tout $T$ en pourcentage, on calcule le rapport $\frac{P}{T}$ et on le multiplie par 100.
Formule : $\text{Pourcentage} = \frac{\text{Part}}{\text{Tout}} \times 100$

Exemple
a) Dans une classe de 25 élèves, 60% sont des filles. Combien y a-t-il de filles ?
b) Lors d'une évaluation, un élève a obtenu 16 points sur un total de 20 points. Quel est son pourcentage de réussite ?

Corrigé pas à pas
a) Pour calculer le nombre de filles, nous devons calculer 60% de 25 élèves :
Nombre de filles = $25 \times \frac{60}{100} = 25 \times 0,60 = 15$
Il y a 15 filles dans la classe.

b) Pour exprimer la réussite en pourcentage, nous calculons la proportion puis nous la multiplions par 100 :
Pourcentage de réussite = $\frac{16}{20} \times 100 = 0,8 \times 100 = 80\%$
L'élève a obtenu 80% de réussite à l'évaluation.

Erreurs fréquentes
Oublier de diviser par 100 : Un pourcentage est une fraction sur 100. Si vous calculez 20% de 50, il ne faut pas faire $20 \times 50$, mais $20 \times \frac{50}{100}$ ou $0,20 \times 50$.
Appliquer le pourcentage à la mauvaise valeur : Assurez-vous toujours d'appliquer le pourcentage à la quantité de référence (le 'tout') correcte.

Appliquer un pourcentage (augmentation ou réduction)

Appliquer un pourcentage à une quantité, c'est modifier cette quantité en fonction d'un taux donné. On peut calculer une nouvelle valeur après une augmentation ou une réduction en pourcentage en utilisant un coefficient multiplicateur.
- Une augmentation de $t\%$ revient à multiplier la quantité initiale par $(1 + \frac{t}{100})$.
- Une réduction de $t\%$ revient à multiplier la quantité initiale par $(1 - \frac{t}{100})$.

Méthode
1. Pour une augmentation de $t\%$ :
a. Calculez le coefficient multiplicateur : $C_a = 1 + \frac{t}{100}$.
b. Multipliez la valeur initiale par ce coefficient : $\text{Nouvelle valeur} = \text{Valeur initiale} \times C_a$.
2. Pour une réduction de $t\%$ :
a. Calculez le coefficient multiplicateur : $C_r = 1 - \frac{t}{100}$.
b. Multipliez la valeur initiale par ce coefficient : $\text{Nouvelle valeur} = \text{Valeur initiale} \times C_r$.

Exemple
a) Le prix d'un vélo est de 300 €. Il augmente de 5%. Quel est son nouveau prix ?
b) Un pull coûte 50 €. Il est soldé avec une réduction de 20%. Quel est son nouveau prix ?

Corrigé pas à pas
a) Pour une augmentation de 5% :
1. Calcul du coefficient multiplicateur : $C_a = 1 + \frac{5}{100} = 1 + 0,05 = 1,05$.
2. Calcul du nouveau prix : Nouveau prix = $300 \text{ €} \times 1,05 = 315 \text{ €}$.
Le nouveau prix du vélo est de 315 €.

b) Pour une réduction de 20% :
1. Calcul du coefficient multiplicateur : $C_r = 1 - \frac{20}{100} = 1 - 0,20 = 0,80$.
2. Calcul du nouveau prix : Nouveau prix = $50 \text{ €} \times 0,80 = 40 \text{ €}$.
Le nouveau prix du pull est de 40 €.

Erreurs fréquentes
Calculer le montant de la variation puis l'ajouter/soustraire : Bien que correcte, cette méthode est plus longue. Par exemple, pour une augmentation de 10% sur 100€, on peut faire $100 \times 0,10 = 10$, puis $100 + 10 = 110$. Il est plus efficace de faire $100 \times (1 + 0,10) = 100 \times 1,10 = 110$.
Confondre les signes dans le coefficient multiplicateur : Bien retenir que c'est $1 + \frac{t}{100}$ pour une augmentation et $1 - \frac{t}{100}$ pour une réduction.

Identifier une situation de proportionnalité et trouver le coefficient

1. 1. Identifiez les deux grandeurs en jeu dans la situation.
2. 2. Organisez les données dans un tableau, si ce n'est pas déjà fait, en plaçant les valeurs d'une grandeur sur une ligne (ou colonne) et celles de l'autre grandeur sur l'autre ligne (ou colonne).
3. 3. Pour chaque colonne (ou paire de valeurs), calculez le quotient de la valeur de la deuxième grandeur par la valeur de la première grandeur.
4. 4. Comparez les quotients :
   - Si tous les quotients sont identiques, la situation est proportionnelle et ce quotient est le coefficient de proportionnalité.
   - Si les quotients sont différents, la situation n'est pas proportionnelle.

Exemple
Un boulanger vend des croissants. Il propose les offres suivantes :
- 3 croissants pour 4,50 €
- 5 croissants pour 7,50 €
- 8 croissants pour 12,00 €
La situation est-elle proportionnelle ? Si oui, quel est le prix d'un croissant ?

Corrigé pas à pas
1. Les grandeurs sont le nombre de croissants et le prix.
2. Tableau des données :
| Nombre de croissants | 3 | 5 | 8 |
|----------------------|------|------|-------|
| Prix (€) | 4,50 | 7,50 | 12,00 |

3. Calcul des quotients (Prix / Nombre de croissants) :
- Pour 3 croissants : $\frac{4,50}{3} = 1,50$
- Pour 5 croissants : $\frac{7,50}{5} = 1,50$
- Pour 8 croissants : $\frac{12,00}{8} = 1,50$

4. Tous les quotients sont égaux à 1,50. La situation est donc proportionnelle. Le coefficient de proportionnalité est 1,50. Cela signifie que le prix d'un croissant est de 1,50 €.

Calculer un pourcentage d'une quantité

1. 1. Identifiez la quantité totale (le 'tout') sur laquelle le pourcentage doit être appliqué.
2. 2. Identifiez le taux de pourcentage ($t\%$).
3. 3. Convertissez le pourcentage en fraction ou en nombre décimal : $t\% = \frac{t}{100}$.
4. 4. Multipliez la quantité totale par cette fraction ou ce nombre décimal pour obtenir la part correspondante.

Exemple
Un article coûte 120 €. Il y a une taxe de 21% à ajouter. Quel est le montant de la taxe ?

Corrigé pas à pas
1. La quantité totale est le prix de l'article : 120 €.
2. Le taux de pourcentage est 21%.
3. Conversion du pourcentage : $21\% = \frac{21}{100} = 0,21$.
4. Calcul du montant de la taxe : Montant de la taxe = $120 \times 0,21 = 25,20$.
Le montant de la taxe est de 25,20 €.

Appliquer une augmentation ou une réduction en pourcentage

1. 1. Identifiez la valeur initiale de la grandeur.
2. 2. Identifiez le taux de pourcentage ($t\%$) de l'augmentation ou de la réduction.
3. 3. Calculez le coefficient multiplicateur :
   - Pour une augmentation : $C_a = 1 + \frac{t}{100}$
   - Pour une réduction : $C_r = 1 - \frac{t}{100}$
4. 4. Multipliez la valeur initiale par le coefficient multiplicateur trouvé pour obtenir la nouvelle valeur.

Exemple
Le prix d'un smartphone est de 450 €. Pendant les soldes, il bénéficie d'une réduction de 15%. Quel est le nouveau prix du smartphone ?

Corrigé pas à pas
1. La valeur initiale du smartphone est 450 €.
2. Le taux de réduction est 15%.
3. Calcul du coefficient multiplicateur pour une réduction :
$C_r = 1 - \frac{15}{100} = 1 - 0,15 = 0,85$.
4. Calcul du nouveau prix :
Nouveau prix = $450 \text{ €} \times 0,85 = 382,50 \text{ €}$.
Le nouveau prix du smartphone est de 382,50 €.

La proportionnalité

• Deux grandeurs sont proportionnelles si l'on passe de l'une à l'autre en multipliant (ou divisant) par un même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.
• Dans un tableau de proportionnalité, le quotient des valeurs correspondantes est constant : $\frac{\text{Valeur 2}}{\text{Valeur 1}} = \text{Coefficient de proportionnalité}$.

Les pourcentages

• Un pourcentage $t\%$ représente la fraction $\frac{t}{100}$.
• Calculer $t\%$ d'une quantité $Q$ : $\text{Part} = Q \times \frac{t}{100}$.
• Exprimer une proportion en pourcentage : $\text{Pourcentage} = \frac{\text{Part}}{\text{Tout}} \times 100$.

Appliquer un pourcentage (augmentation/réduction)

• Augmentation de $t\%$ : Multiplier la valeur initiale par le coefficient multiplicateur $C_a = 1 + \frac{t}{100}$.
• Réduction de $t\%$ : Multiplier la valeur initiale par le coefficient multiplicateur $C_r = 1 - \frac{t}{100}$.