Grandeurs proportionnelles et vitesse

1. Les grandeurs proportionnelles

Deux grandeurs sont dites proportionnelles si les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre non nul. Ce nombre est appelé le coefficient de proportionnalité.

Méthode
Identifier une situation de proportionnalité :
1. Vérifie si le rapport (la division) entre les valeurs correspondantes des deux grandeurs est toujours le même. Si oui, ce rapport est le coefficient de proportionnalité.
2. Sur un graphique, une situation de proportionnalité est représentée par des points alignés avec l'origine (le point (0,0)).
Calculer une valeur manquante dans une situation de proportionnalité :
1. Avec le coefficient de proportionnalité : Si tu connais le coefficient, multiplie (ou divise) la valeur connue par ce coefficient pour trouver la valeur manquante.
2. Avec le produit en croix : Si tu as un tableau de proportionnalité avec trois valeurs connues et une inconnue ($x$), tu peux utiliser la règle de trois (produit en croix). Si $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, alors $a \times d = b \times c$. Pour trouver une valeur manquante, par exemple $d = \frac{b \times c}{a}$.

Exemple
Un boulanger utilise 200 grammes de farine pour faire 4 baguettes. Combien de farine lui faut-il pour faire 10 baguettes ? Est-ce une situation de proportionnalité ?

Corrigé pas à pas
Oui, c'est une situation de proportionnalité, car la quantité de farine est directement liée au nombre de baguettes. Plus il y a de baguettes, plus il faut de farine, et dans les mêmes proportions.

Méthode 1 : Avec le coefficient de proportionnalité
1. Calculons le coefficient de proportionnalité pour trouver la quantité de farine par baguette : $200 \text{ g} \div 4 \text{ baguettes} = 50 \text{ g/baguette}$. Le coefficient est 50.
2. Pour 10 baguettes, il faut $10 \text{ baguettes} \times 50 \text{ g/baguette} = 500 \text{ g}$ de farine.

Méthode 2 : Avec le produit en croix
On peut organiser les données dans un tableau :
| Nombre de baguettes | Quantité de farine (g) |
|---------------------|------------------------|
| 4 | 200 |
| 10 | $x$ |

En utilisant le produit en croix : $4 \times x = 200 \times 10$
$4x = 2000$
$x = \frac{2000}{4}$
$x = 500$

Il faut 500 grammes de farine pour faire 10 baguettes.

Erreurs fréquentes
Confondre une relation additive avec une relation multiplicative. Par exemple, si une personne de 10 ans mesure 140 cm et une personne de 20 ans mesure 170 cm, la taille n'est pas proportionnelle à l'âge (on n'a pas multiplié la taille par 2).
Oublier que la représentation graphique d'une situation de proportionnalité doit passer par l'origine (le point (0,0)). Si 0 baguette nécessite 0 gramme de farine, c'est proportionnel. Si 0 degré Celsius correspond à 32 degrés Fahrenheit, ce n'est pas proportionnel.
Ne pas vérifier tous les rapports dans un tableau de valeurs. Il faut que TOUS les quotients soient égaux pour affirmer la proportionnalité.

2. La vitesse moyenne : un cas particulier de proportionnalité

La vitesse moyenne est une grandeur qui exprime la relation entre la distance parcourue et le temps mis pour la parcourir. C'est un cas particulier de proportionnalité où la distance est proportionnelle au temps (si la vitesse est constante).

Méthode
Calculer la vitesse moyenne :
La formule de la vitesse moyenne est : $v = \frac{d}{t}$
où :
• $v$ représente la vitesse moyenne
• $d$ représente la distance parcourue
• $t$ représente le temps mis pour parcourir cette distance
Calculer la distance ou le temps :
À partir de la formule principale, tu peux déduire :
• Pour calculer la distance : $d = v \times t$
• Pour calculer le temps : $t = \frac{d}{v}$
Attention aux unités ! Il est crucial d'utiliser des unités cohérentes. Si la distance est en kilomètres (km) et le temps en heures (h), la vitesse sera en kilomètres par heure (km/h). Si la distance est en mètres (m) et le temps en secondes (s), la vitesse sera en mètres par seconde (m/s), qui est l'unité de vitesse du Système International (SI). Tu devras souvent effectuer des conversions d'unités avant de faire les calculs.

Exemple
Un cycliste parcourt 45 kilomètres en 2 heures et 30 minutes. Quelle est sa vitesse moyenne en km/h ?

Corrigé pas à pas
1. Convertir le temps en une seule unité : Le temps est donné en heures et minutes. 2 heures et 30 minutes, c'est 2 heures et une demi-heure. Donc $2 \text{ h} + 0,5 \text{ h} = 2,5 \text{ h}$.
2. Identifier les données :
• Distance ($d$) = 45 km
• Temps ($t$) = 2,5 h
3. Appliquer la formule de la vitesse : $v = \frac{d}{t}$
$v = \frac{45 \text{ km}}{2,5 \text{ h}}$
$v = 18 \text{ km/h}$

La vitesse moyenne du cycliste est de 18 km/h.

Erreurs fréquentes
Ne pas convertir les unités avant le calcul. Par exemple, si la distance est en kilomètres et le temps en minutes, tu ne peux pas obtenir des km/h directement sans convertir les minutes en heures.
Confondre les formules : utiliser $d = v/t$ au lieu de $d = v \times t$, ou $t = v/d$ au lieu de $t = d/v$. Un bon moyen de vérifier est de penser aux unités : km = (km/h) \times h.
Erreurs dans la conversion du temps, notamment avec les minutes. 30 minutes, ce n'est pas 0,3 heure, mais 0,5 heure (car 30 minutes = 30/60 heure).

Identifier une situation de proportionnalité

1. 1. Vérifier les quotients : Pour chaque paire de valeurs correspondantes, divise la valeur de la deuxième grandeur par la valeur de la première grandeur. Si tous les résultats sont identiques, la situation est proportionnelle.
2. 2. Vérifier l'origine : Assure-toi que si la première grandeur est nulle, la deuxième l'est aussi (par exemple, 0 kg de pommes coûte 0 euro).
3. 3. Vérifier le graphique : Si les points représentant les paires de valeurs sont alignés sur une droite passant par l'origine (0,0), alors la situation est proportionnelle.

Exemple
Le tableau suivant représente la consommation d'essence d'une voiture. Est-ce une situation de proportionnalité ?
| Distance parcourue (km) | Essence consommée (L) |
|-------------------------|-----------------------|
| 100 | 8 |
| 250 | 20 |
| 400 | 32 |

Corrigé pas à pas
1. Calculons les quotients (Essence / Distance) :
• Pour la première ligne : $\frac{8 \text{ L}}{100 \text{ km}} = 0,08 \text{ L/km}$
• Pour la deuxième ligne : $\frac{20 \text{ L}}{250 \text{ km}} = 0,08 \text{ L/km}$
• Pour la troisième ligne : $\frac{32 \text{ L}}{400 \text{ km}} = 0,08 \text{ L/km}$
2. Tous les quotients sont égaux à 0,08. De plus, on peut supposer que pour 0 km parcouru, 0 L d'essence est consommée.

Oui, c'est une situation de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité est 0,08 L/km.

Calculer une quatrième proportionnelle (Règle de trois)

1. 1. Organiser les données : Place les valeurs connues et la valeur inconnue ($x$) dans un tableau de proportionnalité.
2. 2. Appliquer le produit en croix : Multiplie les deux valeurs en diagonale qui sont connues, puis divise par la valeur restante (celle qui est en diagonale avec l'inconnue $x$).
3. 3. Calculer le résultat : Effectue l'opération pour trouver la valeur de $x$.

Exemple
Si 3 kg de pommes coûtent 7,50 euros, combien coûteront 5 kg de pommes ?

Corrigé pas à pas
1. Organisons les données dans un tableau :
| Masse (kg) | Prix (euros) |
|-------------|--------------|
| 3 | 7,50 |
| 5 | $x$ |

2. Appliquons le produit en croix :
$3 \times x = 7,50 \times 5$

3. Calculons le résultat :
$3x = 37,50$
$x = \frac{37,50}{3}$
$x = 12,50$

5 kg de pommes coûteront 12,50 euros.

Convertir des unités de vitesse (ex: km/h en m/s)

1. 1. Convertir la distance : Convertis les kilomètres (km) en mètres (m) en sachant que $1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$.
2. 2. Convertir le temps : Convertis les heures (h) en secondes (s) en sachant que $1 \text{ h} = 60 \text{ minutes}$ et $1 \text{ minute} = 60 \text{ secondes}$. Donc $1 \text{ h} = 60 \times 60 = 3600 \text{ secondes}$.
3. 3. Diviser les nouvelles valeurs : Divise la distance en mètres par le temps en secondes pour obtenir la vitesse en m/s.

Exemple
Convertis une vitesse de 72 km/h en m/s.

Corrigé pas à pas
1. Convertir la distance :
$72 \text{ km} = 72 \times 1000 \text{ m} = 72000 \text{ m}$

2. Convertir le temps :
$1 \text{ h} = 3600 \text{ s}$

3. Diviser les nouvelles valeurs :
$v = \frac{72000 \text{ m}}{3600 \text{ s}}$
$v = 20 \text{ m/s}$

Donc, 72 km/h équivaut à 20 m/s.

Astuce : Pour passer de km/h à m/s, il suffit de diviser par 3,6. Pour passer de m/s à km/h, il faut multiplier par 3,6.
$72 \div 3,6 = 20$

Grandeurs proportionnelles

• Deux grandeurs sont proportionnelles si les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant les valeurs de l'autre par un même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.
• Le graphique d'une situation de proportionnalité est une droite passant par l'origine (0,0).
• La règle de trois (ou produit en croix) permet de trouver une valeur manquante dans un tableau de proportionnalité : $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies a \times d = b \times c$.

Vitesse moyenne

• La vitesse moyenne ($v$) est le rapport entre la distance parcourue ($d$) et le temps mis ($t$) : $v = \frac{d}{t}$.
• Formules dérivées : $d = v \times t$ et $t = \frac{d}{v}$.
• Unités usuelles : km/h (kilomètres par heure), m/s (mètres par seconde).
• Conversions :
  • Pour passer de km/h à m/s, divise par 3,6.
  • Pour passer de m/s à km/h, multiplie par 3,6.
  • $1 \text{ h} = 60 \text{ min} = 3600 \text{ s}$.
  • $1 \text{ km} = 1000 \text{ m}$.