Électricité et électromagnétisme : champs, forces et induction

Loi de Coulomb et champ électrostatique

Deux charges électriques ponctuelles immobiles $q_1$ et $q_2$, séparées par une distance $r$ dans le vide ou dans l'air, exercent l'une sur l'autre des forces électrostatiques de même direction, de sens opposés et d'intensité égale à :
$$F = k_0 \cdot \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2}$$
avec $k_0 \approx 8{,}99 \times 10^9\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$.
Une charge source $Q$ crée en tout point de l'espace un champ électrique vectoriel $\vec{E}$. Une charge d'épreuve $q$ placée en ce point subit une force vectorielle :
$$\vec{F}_e = q \cdot \vec{E}$$
Le vecteur $\vec{E}$ est radial et centrifuge si $Q > 0$, centripète si $Q < 0$. Son unité dans le Système International est le volt par mètre ($\text{V}\cdot\text{m}^{-1}$) ou le newton par coulomb ($\text{N}\cdot\text{C}^{-1}$). Dans un condensateur plan, le champ est uniforme, perpendiculaire aux armatures, dirigé de la plaque positive vers la plaque négative, avec $E = \frac{U}{d}$.

Méthode
Identifier les charges en présence (en coulombs, C) et la distance qui les sépare (convertie en mètres, m).
Déterminer le sens de la force : attractive pour des charges de signes opposés, répulsive pour des charges de même signe.
Calculer la norme de la force électrique à l'aide de la loi de Coulomb ou par la relation $F_e = |q| \cdot E$.
Représenter les vecteurs forces sur un schéma à l'échelle en respectant le principe des actions réciproques (troisième loi de Newton).

Exemple
Deux petites sphères métalliques distantes de $r = 5{,}0\text{ cm}$ portent des charges respectives $q_1 = +2{,}0\text{ }\mu\text{C}$ et $q_2 = -4{,}0\text{ }\mu\text{C}$. Calcule la valeur de la force électrostatique qui s'exerce entre elles et précise sa nature.

Corrigé pas à pas
Conversion des données en unités SI :
$q_1 = 2{,}0 \times 10^{-6}\text{ C}$, $q_2 = -4{,}0 \times 10^{-6}\text{ C}$ et $r = 0{,}050\text{ m}$.

Application de la loi de Coulomb :
$$F = 8{,}99 \times 10^9 \cdot \frac{|2{,}0 \times 10^{-6} \cdot (-4{,}0 \times 10^{-6})|}{(0{,}050)^2}$$
$$F = 8{,}99 \times 10^9 \cdot \frac{8{,}0 \times 10^{-12}}{2{,}5 \times 10^{-3}} = 28{,}8\text{ N} \approx 29\text{ N}$$

Les charges étant de signes opposés, la force est attractive. Chaque sphère attire l'autre avec une force de $29\text{ N}$.

Erreurs fréquentes
Oublier d'élever la distance $r$ au carré dans le dénominateur de la loi de Coulomb.
Conserver la distance en centimètres au lieu de la convertir impérativement en mètres.
Oublier la valeur absolue des charges lors du calcul de la norme de la force, ce qui donne un résultat numérique négatif incorrect pour une norme.

Champ magnétique et force de Laplace

Un champ magnétique vectoriel $\vec{B}$ (mesuré en teslas, $\text{T}$) est créé par des aimants ou par des courants électriques. Les lignes de champ sortent du pôle Nord et rentrent par le pôle Sud à l'extérieur d'un aimant.

Lorsqu'un conducteur rectiligne de longueur $L$ parcouru par un courant d'intensité $I$ est immergé dans un champ magnétique uniforme $\vec{B}$, il subit la force de Laplace $\vec{F}_L$. Si le conducteur est perpendiculaire aux lignes de champ, la norme de cette force vaut :
$$F_L = I \cdot L \cdot B$$
Plus généralement, si l'angle entre le conducteur et le champ est $\alpha$, $F_L = I \cdot L \cdot B \cdot \sin(\alpha)$.
La direction de $\vec{F}_L$ est perpendiculaire au plan formé par le conducteur et $\vec{B}$. Son sens est donné par la règle de la main droite (ou des trois doigts de la main droite) : le pouce pointe dans le sens du courant conventionnel $I$, l'index dans le sens du champ $\vec{B}$, et le majeur indique le sens de la force $\vec{F}_L$.

Méthode
Repérer le sens conventionnel du courant électrique $I$ (du pôle $+$ vers le pôle $-$ du générateur).
Repérer la direction et le sens du vecteur champ magnétique $\vec{B}$ (du Nord vers le Sud).
Utiliser la règle des trois doigts de la main droite (Pouce = $I$, Index = $\vec{B}$, Majeur = $\vec{F}_L$) pour déterminer le sens de la force.
Calculer l'intensité en s'assurant que $I$ est en ampères (A), $L$ en mètres (m) et $B$ en teslas (T).

Exemple
Une tige conductrice de longueur utile $L = 12\text{ cm}$ est placée perpendiculairement aux lignes d'un champ magnétique uniforme d'intensité $B = 0{,}25\text{ T}$. Elle est parcourue par un courant électrique de $I = 3{,}0\text{ A}$. Calcule l'intensité de la force de Laplace exercée sur la tige.

Corrigé pas à pas
Conversion de la longueur : $L = 12\text{ cm} = 0{,}12\text{ m}$.

La tige étant perpendiculaire au champ magnétique, $\alpha = 90^\circ$ et $\sin(90^\circ) = 1$.

Calcul de la force :
$$F_L = I \cdot L \cdot B = 3{,}0 \cdot 0{,}12 \cdot 0{,}25 = 0{,}090\text{ N}$$

La tige subit une force de Laplace de $0{,}090\text{ N}$ (ou $90\text{ mN}$).

Erreurs fréquentes
Utiliser la main gauche au lieu de la main droite pour trouver l'orientation de la force de Laplace.
Confondre le sens du courant conventionnel (du $+$ vers le $-$) et le déplacement réel des électrons (du $-$ vers le $+$).
Oublier de vérifier l'orthogonalité entre le conducteur et le champ magnétique (utiliser la formule sans $\sin(\alpha)$ alors que le conducteur est incliné).

Induction électromagnétique et loi de Faraday-Lenz

Le flux magnétique $\Phi$ à travers une surface plane d'aire $S$ plongée dans un champ magnétique uniforme $\vec{B}$ mesure la quantité de lignes de champ traversant cette surface :
$$\Phi = B \cdot S \cdot \cos(\theta)$$
où $\theta$ est l'angle entre le vecteur champ magnétique $\vec{B}$ et le vecteur normal $\vec{n}$ à la surface. L'unité du flux magnétique est le weber ($\text{Wb}$).

Loi de Faraday-Lenz : Toute variation de flux magnétique $\Delta\Phi$ à travers un circuit fermé pendant une durée $\Delta t$ engendre une force électromotrice induite (tension notée $\mathcal{E}$ ou $e$) :
$$\mathcal{E} = -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$$
Le signe « $-$ » exprime la loi de Lenz : le courant induit s'oppose par ses effets magnétiques à la cause qui lui donne naissance (variation de flux).

Méthode
Calculer le flux magnétique initial $\Phi_1 = B_1 \cdot S_1 \cdot \cos(\theta_1)$ et final $\Phi_2 = B_2 \cdot S_2 \cdot \cos(\theta_2)$.
Calculer la variation de flux : $\Delta\Phi = \Phi_2 - \Phi_1$.
Calculer la valeur absolue de la f.é.m. induite moyenne : $|\mathcal{E}| = \frac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}$.
Déterminer le sens du courant induit en appliquant la loi de Lenz (le champ magnétique créé par le courant induit tente de compenser l'augmentation ou la diminution du flux extérieur).

Exemple
Une bobine plate circulaire comportant $N = 200\text{ spires}$ d'aire $S = 25\text{ cm}^2$ est placée perpendiculairement aux lignes d'un champ magnétique. L'intensité du champ magnétique passe de $B_1 = 0{,}60\text{ T}$ à $B_2 = 0{,}10\text{ T}$ en une durée $\Delta t = 0{,}050\text{ s}$. Calcule la valeur moyenne de la force électromotrice induite dans la bobine.

Corrigé pas à pas
Conversion de l'aire en mètres carrés :
$S = 25\text{ cm}^2 = 25 \times 10^{-4}\text{ m}^2 = 2{,}5 \times 10^{-3}\text{ m}^2$.

La bobine étant perpendiculaire au champ, le vecteur normal est parallèle à $\vec{B}$, d'où $\theta = 0^\circ$ et $\cos(0^\circ) = 1$.

Flux pour une spire :
$\Phi_1 = B_1 \cdot S = 0{,}60 \cdot 2{,}5 \times 10^{-3} = 1{,}5 \times 10^{-3}\text{ Wb}$
$\Phi_2 = B_2 \cdot S = 0{,}10 \cdot 2{,}5 \times 10^{-3} = 0{,}25 \times 10^{-3}\text{ Wb}$

Variation de flux totale pour $N$ spires :
$\Delta\Phi_{\text{tot}} = N \cdot (\Phi_2 - \Phi_1) = 200 \cdot (0{,}25 \times 10^{-3} - 1{,}5 \times 10^{-3}) = 200 \cdot (-1{,}25 \times 10^{-3}) = -0{,}25\text{ Wb}$

Calcul de la force électromotrice induite :
$$\mathcal{E} = -\frac{\Delta\Phi_{\text{tot}}}{\Delta t} = -\frac{-0{,}25}{0{,}050} = +5{,}0\text{ V}$$

La f.é.m. induite aux bornes de la bobine est de $5{,}0\text{ V}$.

Erreurs fréquentes
Oublier de multiplier la variation de flux par le nombre de spires $N$ lorsque l'enroulement comporte plusieurs spires.
Erreur de conversion de surface : $1\text{ cm}^2 = 10^{-4}\text{ m}^2$ (et non $10^{-2}$).
Confondre l'angle $\theta$ entre la normale à la surface et $\vec{B}$ avec l'angle entre le plan de la surface et $\vec{B}$.

Déterminer la force et le champ électrostatique en un point

1. Identifier la charge source $Q$ et la position du point considéré $P$.
2. Calculer le module du champ électrique : $E = k_0 \cdot \frac{|Q|}{r^2}$.
3. Tracer le vecteur $\vec{E}$ : radial et centrifuge si $Q > 0$, centripète si $Q < 0$.
4. Si une seconde charge $q$ est placée en ce point, calculer la force vectorielle $\vec{F} = q\vec{E}$.

Exemple
Une charge source ponctuelle $Q = +5{,}0\text{ nC}$ est située à l'origine. Calcule l'intensité du champ électrique à une distance $r = 30\text{ cm}$ et détermine la force exercée sur un électron de charge $q = -1{,}60 \times 10^{-19}\text{ C}$ placé en ce point.

Corrigé pas à pas
1. Conversion : $Q = 5{,}0 \times 10^{-9}\text{ C}$ et $r = 0{,}30\text{ m}$.
2. Intensité du champ électrique :
$$E = 8{,}99 \times 10^9 \cdot \frac{5{,}0 \times 10^{-9}}{(0{,}30)^2} = \frac{44{,}95}{0{,}090} \approx 500\text{ V}\cdot\text{m}^{-1}$$
3. Intensité de la force sur l'électron :
$$F = |q| \cdot E = 1{,}60 \times 10^{-19} \cdot 500 = 8{,}0 \times 10^{-17}\text{ N}$$
Le champ est dirigé vers l'extérieur (centrifuge car $Q > 0$). La force exercée sur l'électron est orientée vers la charge source $Q$ (attractive car $q < 0$).

Appliquer la règle de la main droite pour la force de Laplace

1. Tendre la main droite en plaçant le pouce, l'index et le majeur à angle droit les uns par rapport aux autres.
2. Orienter le pouce dans le sens conventionnel du courant $I$ (du pôle positif vers le pôle négatif).
3. Orienter l'index dans le sens des lignes du champ magnétique $\vec{B}$ (du Nord vers le Sud).
4. Le majeur indique alors la direction et le sens de la force de Laplace $\vec{F}_L$.

Exemple
Dans un haut-parleur électrodynamique, une bobine circulaire est immergée dans un champ magnétique radial dirigé vers l'extérieur. Si le courant circule dans le sens horaire (vu de face), dans quel sens la membrane du haut-parleur est-elle poussée ?

Corrigé pas à pas
Considérons le haut de la spire :
1. Le courant $I$ va vers la droite (sens horaire en haut de la boucle) : pouce vers la droite.
2. Le champ magnétique $\vec{B}$ est radial dirigé vers l'extérieur (vers le haut en ce point) : index vers le haut.
3. Le majeur pointe alors perpendiculairement vers l'arrière du plan (vers l'intérieur de l'aimant).
La membrane subit donc une force dirigée vers l'arrière. Si le courant s'inverse, la force s'inverse et pousse la membrane vers l'avant, créant une onde sonore.

Formulaire d'électrostatique et de magnétisme

• Loi de Coulomb : $F = k_0 \cdot \frac{|q_1 \cdot q_2|}{r^2}$ avec $k_0 = 8{,}99 \times 10^9\text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$
• Force électrique : $\vec{F}_e = q \cdot \vec{E}$ ; Champ uniforme : $E = \frac{U}{d}$
• Force de Laplace (fil perpendiculaire à $\vec{B}$) : $F_L = I \cdot L \cdot B$ (sens déterminé par la règle de la main droite)

Formulaire d'induction électromagnétique

• Flux magnétique : $\Phi = B \cdot S \cdot \cos(\theta)$ (unité : Weber, $\text{Wb}$)
• Loi de Faraday : $\mathcal{E} = -\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}$ (unité : Volt, $\text{V}$)
• Loi de Lenz : le courant induit crée un champ qui s'oppose à la variation du flux initial