Mécanique et énergie : travail, puissance et conservation de l'énergie

Travail d'une force constante et puissance mécanique

En physique, le travail $W$ d'une force constante $\vec{F}$ lors d'un déplacement rectiligne $\vec{d}$ mesure le transfert d'énergie induit par l'application de cette force. Il est défini par le produit scalaire : $$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F \cdot d \cdot \cos(\alpha)$$ où $F$ est l'intensité de la force en newtons (N), $d$ la distance parcourue en mètres (m), $\alpha$ l'angle entre le vecteur force $\vec{F}$ et le vecteur déplacement $\vec{d}$, et $W$ le travail exprimé en joules (J).

Le travail est dit :
- moteur si $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$ (soit $\cos(\alpha) > 0$), la force favorise le mouvement ;
- résistant si $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$ (soit $\cos(\alpha) < 0$), la force s'oppose au mouvement ;
- nul si $\alpha = 90^\circ$ (soit $\cos(\alpha) = 0$), la force est perpendiculaire à la trajectoire et ne transfère aucune énergie.

La puissance moyenne $P$ correspond à la rapidité avec laquelle un travail est effectué : $$P = \frac{W}{\Delta t}$$ où $P$ est exprimée en watts (W), $W$ en joules (J) et $\Delta t$ en secondes (s). Pour un objet en mouvement rectiligne uniforme à la vitesse constante $v$ soumis à une force motrice colinéaire, la puissance instantanée s'écrit $P = F \cdot v$.

Méthode
Identifier précisément le système étudié ainsi que le point de départ et le point d'arrivée du déplacement.
Faire le bilan des forces appliquées et tracer le vecteur déplacement $\vec{d}$.
Pour chaque force, mesurer ou calculer l'angle $\alpha$ entre la direction de la force et celle du déplacement.
Appliquer la relation $W = F \cdot d \cdot \cos(\alpha)$ en veillant à la cohérence des unités SI (N, m, J).
Calculer la puissance $P = \frac{W}{\Delta t}$ si une durée ou une vitesse est spécifiée.

Exemple
Une force de traction constante d'intensité $F = 120\text{ N}$ est exercée sur un traîneau sur une distance horizontale de $d = 25\text{ m}$. La corde forme un angle $\alpha = 30^\circ$ avec l'horizontale. Le déplacement dure $\Delta t = 10\text{ s}$. Calculer le travail de cette force puis la puissance moyenne développée.

Corrigé pas à pas
1. Calcul du travail $W$ :
$$W = F \cdot d \cdot \cos(\alpha)$$
$$W = 120 \times 25 \times \cos(30^\circ) = 3000 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 2598\text{ J}$$
Le travail est strictement positif : il s'agit d'un travail moteur de $2,60 \times 10^3\text{ J}$.

2. Calcul de la puissance moyenne $P$ :
$$P = \frac{W}{\Delta t} = \frac{2598}{10} \approx 259,8\text{ W}$$
La puissance développée par l'opérateur est d'environ $260\text{ W}$.

Erreurs fréquentes
Oublier de convertir la distance en mètres ou le temps en secondes avant d'effectuer les calculs.
Régler la calculatrice en radians plutôt qu'en degrés lors du calcul de $\cos(\alpha)$.
Attribuer un travail non nul au poids ou à la réaction normale lors d'un déplacement horizontal (leur angle avec le déplacement vaut $90^\circ$, donc leur travail est nul).

Formes d'énergie mécanique : cinétique et potentielle

L'énergie mécanique $E_m$ d'un système est la somme de son énergie cinétique $E_c$ et de son énergie potentielle de gravitation $E_{pg}$ :
$$E_m = E_c + E_{pg}$$

1. Énergie cinétique $E_c$ : énergie associée au mouvement d'un corps de masse $m$ (en kg) se déplaçant à la vitesse scalaire $v$ (en m/s) :
$$E_c = \frac{1}{2} m v^2$$
L'énergie cinétique est toujours positive ou nulle ($E_c \ge 0$).

2. Énergie potentielle de gravitation $E_{pg}$ : énergie emmagasinée par un système en interaction gravitationnelle, dépendant de son altitude $z$ par rapport à un niveau de référence choisi arbitrairement ($z = 0$) :
$$E_{pg} = m \cdot g \cdot z$$
avec $m$ la masse en kilogrammes (kg), $g$ l'intensité du champ de pesanteur ($g \approx 9,81\text{ N/kg}$ ou $\text{m/s}^2$ à la surface terrestre) et $z$ l'altitude en mètres (m).

Méthode
Définir l'origine des altitudes ($z = 0$) où l'énergie potentielle est conventionnellement fixée à zéro.
Relever les grandeurs physiques données en convertissant scrupuleusement la vitesse en $\text{m/s}$ (diviser par $3,6$ si elle est fournie en $\text{km/h}$) et la masse en $\text{kg}$.
Calculer séparément $E_c = \frac{1}{2} m v^2$ et $E_{pg} = m g z$.
Additionner ces deux grandeurs pour déterminer l'énergie mécanique totale $E_m$ à la position considérée.

Exemple
Une balle de masse $m = 200\text{ g}$ est lancée vers le haut. À un instant donné, elle passe à une altitude $z = 4,0\text{ m}$ au-dessus du sol à la vitesse $v = 6,0\text{ m/s}$. On prend $g = 9,81\text{ N/kg}$ et le sol comme référence des altitudes ($z = 0$). Calculer l'énergie mécanique de la balle à cet instant.

Corrigé pas à pas
1. Conversion des unités :
$m = 200\text{ g} = 0,200\text{ kg}$.

2. Calcul de l'énergie cinétique $E_c$ :
$$E_c = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} \times 0,200 \times (6,0)^2 = 0,100 \times 36 = 3,6\text{ J}$$

3. Calcul de l'énergie potentielle $E_{pg}$ :
$$E_{pg} = m \cdot g \cdot z = 0,200 \times 9,81 \times 4,0 = 7,848\text{ J}$$

4. Énergie mécanique totale $E_m$ :
$$E_m = E_c + E_{pg} = 3,6 + 7,848 = 11,448\text{ J} \approx 11,4\text{ J}$$

Erreurs fréquentes
Conserver la masse en grammes au lieu de la convertir en kilogrammes (ce qui engendre une erreur d'un facteur 1000).
Oublier d'élever la vitesse au carré lors du calcul de $E_c$.
Oublier de convertir une vitesse exprimée en $\text{km/h}$ en $\text{m/s}$.

Conservation et transformation de l'énergie mécanique

1. Théorème de l'énergie mécanique : La variation de l'énergie mécanique d'un système entre une position initiale $A$ et une position finale $B$ est égale à la somme des travaux des forces non conservatives (forces de frottement, force motrice, traction) s'exerçant sur le système :
$$\Delta E_m = E_m(B) - E_m(A) = W_{AB}(\vec{F}_{\text{non conservative}})$$

2. Principe de conservation : Si un système n'est soumis à aucun frottement (ou si seules des forces conservatives comme le poids travaillent), le travail des forces non conservatives est nul ($W = 0$). L'énergie mécanique est alors constante au cours du mouvement :
$$E_m(A) = E_m(B) \iff E_c(A) + E_{pg}(A) = E_c(B) + E_{pg}(B)$$
Il y a conversion continue entre énergie potentielle et énergie cinétique sans perte d'énergie totale.

3. Cas avec dissipation (frottements) : Les forces de frottement effectuent un travail résistant ($W_f < 0$). L'énergie mécanique diminue au cours du temps ($\Delta E_m < 0$) et est convertie en énergie thermique : $$\Delta E_m = W(\vec{f}) = - f \cdot d$$

Méthode
Délimiter les deux états du système : l'état initial $A$ et l'état final $B$.
Préciser l'origine des altitudes ($z = 0$).
Vérifier si le système est isolé de tout frottement. Si les frottements sont négligeables, écrire l'équation de conservation : $E_m(A) = E_m(B)$.
Développer chaque terme : $\frac{1}{2} m v_A^2 + m g z_A = \frac{1}{2} m v_B^2 + m g z_B$.
Simplifier par la masse $m$ si celle-ci apparaît dans tous les termes, puis isoler algébriquement l'inconnue (vitesse ou altitude).

Exemple
Un skieur de masse $m = 75\text{ kg}$ s'élance sans vitesse initiale du haut d'une piste située à une altitude $z_A = 20\text{ m}$. On néglige tout frottement. Déterminer sa vitesse $v_B$ lorsqu'il atteint le bas de la piste ($z_B = 0\text{ m}$). On prend $g = 9,81\text{ N/kg}$.

Corrigé pas à pas
1. Bilan énergétique en $A$ :
- Vitesse nulle : $v_A = 0\text{ m/s} \implies E_c(A) = 0\text{ J}$.
- Altitude : $z_A = 20\text{ m} \implies E_{pg}(A) = m \cdot g \cdot z_A$.
- Donc $E_m(A) = m \cdot g \cdot z_A$.

2. Bilan énergétique en $B$ :
- Altitude nulle : $z_B = 0\text{ m} \implies E_{pg}(B) = 0\text{ J}$.
- Énergie cinétique : $E_c(B) = \frac{1}{2} m v_B^2$.
- Donc $E_m(B) = \frac{1}{2} m v_B^2$.

3. Conservation de l'énergie mécanique (frottements négligés) :
$$E_m(A) = E_m(B) \iff m \cdot g \cdot z_A = \frac{1}{2} m v_B^2$$
On simplifie par la masse $m$ :
$$g \cdot z_A = \frac{1}{2} v_B^2 \iff v_B^2 = 2 \cdot g \cdot z_A$$
$$v_B = \sqrt{2 \cdot g \cdot z_A} = \sqrt{2 \times 9,81 \times 20} = \sqrt{392,4} \approx 19,8\text{ m/s}$$
La vitesse au bas de la piste est d'environ $19,8\text{ m/s}$ (soit $\approx 71,3\text{ km/h}$), indépendamment de la masse du skieur.

Erreurs fréquentes
Considérer que l'énergie mécanique se conserve alors que l'énoncé mentionne des forces de frottement.
Oublier de prendre la racine carrée après avoir calculé $v^2$.
Croire que la vitesse finale dépend de la masse du corps en chute libre sans frottement.

Calculer une vitesse ou une hauteur par conservation de l'énergie mécanique

1. Identifier clairement l'état initial (altitude $z_1$, vitesse $v_1$) et l'état final (altitude $z_2$, vitesse $v_2$).
2. Définir le niveau de référence des énergies potentielles ($z = 0$).
3. Poser l'équation de conservation : $E_c(1) + E_{pg}(1) = E_c(2) + E_{pg}(2)$.
4. Remplacer par les formules littérales : $\frac{1}{2} m v_1^2 + m g z_1 = \frac{1}{2} m v_2^2 + m g z_2$.
5. Simplifier par la masse $m$ dans chaque terme si aucune force non conservative ne travaille.
6. Isoler la grandeur inconnue ($v_2$ ou $z_2$) et réaliser le calcul numérique avec les unités SI.

Exemple
Un pendule simple est constitué d'une bille lâchée sans vitesse initiale depuis une hauteur $z_1 = 0,45\text{ m}$ au-dessus de sa position d'équilibre ($z_2 = 0\text{ m}$). Calculer la vitesse de la bille lors de son passage par la position d'équilibre, en négligeant les frottements ($g = 9,81\text{ N/kg}$).

Corrigé pas à pas
1. Équation de conservation :
$$\frac{1}{2} m v_1^2 + m g z_1 = \frac{1}{2} m v_2^2 + m g z_2$$

2. Simplifications :
Comme $v_1 = 0$ et $z_2 = 0$ :
$$m g z_1 = \frac{1}{2} m v_2^2$$
On simplifie par $m$ :
$$g z_1 = \frac{1}{2} v_2^2 \iff v_2 = \sqrt{2 g z_1}$$

3. Application numérique :
$$v_2 = \sqrt{2 \times 9,81 \times 0,45} = \sqrt{8,829} \approx 2,97\text{ m/s}$$

Calculer le travail des forces de frottement à partir du non-respect de la conservation

1. Calculer l'énergie mécanique initiale $E_m(A) = \frac{1}{2} m v_A^2 + m g z_A$.
2. Calculer l'énergie mécanique finale $E_m(B) = \frac{1}{2} m v_B^2 + m g z_B$.
3. Calculer la variation d'énergie mécanique : $\Delta E_m = E_m(B) - E_m(A)$.
4. Appliquer le théorème : $W(\vec{f}) = \Delta E_m$. Le résultat doit être négatif (travail résistant).
5. Pour déterminer l'intensité moyenne de la force de frottement $f$, utiliser la relation $W(\vec{f}) = - f \cdot d$ d'où $f = \frac{|W(\vec{f})|}{d}$.

Exemple
Un wagonnet de masse $m = 80\text{ kg}$ part du repos à une altitude $z_A = 10\text{ m}$. En bas de la pente ($z_B = 0\text{ m}$), sa vitesse mesurée n'est que de $12\text{ m/s}$ après avoir parcouru une distance de rail $d = 30\text{ m}$. Calculer le travail des forces de frottement et l'intensité moyenne de cette force ($g = 9,81\text{ N/kg}$).

Corrigé pas à pas
1. Énergie mécanique initiale en $A$ :
$$E_m(A) = 0 + m g z_A = 80 \times 9,81 \times 10 = 7848\text{ J}$$

2. Énergie mécanique finale en $B$ :
$$E_m(B) = \frac{1}{2} m v_B^2 + 0 = \frac{1}{2} \times 80 \times (12)^2 = 40 \times 144 = 5760\text{ J}$$

3. Travail des forces de frottement :
$$W(\vec{f}) = \Delta E_m = E_m(B) - E_m(A) = 5760 - 7848 = -2088\text{ J}$$

4. Intensité moyenne de la force de frottement :
$$W(\vec{f}) = - f \cdot d \iff f = \frac{-W(\vec{f})}{d} = \frac{2088}{30} = 69,6\text{ N}$$

Formules fondamentales de la mécanique énergétique

• Travail d'une force constante : $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F \cdot d \cdot \cos(\alpha)$ (en Joules, J)
• Puissance moyenne : $P = \frac{W}{\Delta t}$ (en Watts, W, avec $1\text{ W} = 1\text{ J/s}$)
• Énergie cinétique de translation : $E_c = \frac{1}{2} m v^2$ ($m$ en kg, $v$ en m/s, $E_c$ en J)
• Énergie potentielle de gravitation : $E_{pg} = m \cdot g \cdot z$ ($g \approx 9,81\text{ N/kg}$ ou $\text{m/s}^2$)
• Énergie mécanique totale : $E_m = E_c + E_{pg}$

Principes de conservation et théorèmes

• Sans frottement (forces conservatives seules) : $E_m = \text{constante} \iff \Delta E_m = 0$
• Avec frottements (forces non conservatives) : $\Delta E_m = W(\vec{f}) = - f \cdot d < 0$ (dissipation thermique)
• Conversion d'unités impérative : $v\text{ (m/s)} = \frac{v\text{ (km/h)}}{3,6}$ et $1\text{ kg} = 1000\text{ g}$