Physique : électricité et ondes

Circuits électriques et lois fondamentales

Un circuit électrique est un ensemble continu de conducteurs et de dipôles traversé par un courant électrique. La tension électrique $U$ (en volts, $\text{V}$) représente la différence de potentiel entre deux points, tandis que l'intensité du courant $I$ (en ampères, $\text{A}$) quantifie le débit de charges électriques. Pour un conducteur ohmique (résistance $R$ en ohms, $\Omega$), la loi d'Ohm s'écrit $U = R \cdot I$. Dans un circuit, la loi des nœuds stipule que la somme des intensités des courants arrivant à un nœud est égale à la somme des intensités des courants qui en partent (conservation de la charge). La loi des mailles exprime que la somme algébrique des tensions le long d'une maille fermée est nulle (conservation de l'énergie). La puissance électrique dissipée ou reçue vaut $P = U \cdot I = R \cdot I^2$.

Méthode
Identifier la structure du circuit : repérer les nœuds, les branches et les mailles.
Appliquer la loi des nœuds pour exprimer les relations entre les intensités de courant $I$.
Choisir un sens de parcours pour chaque maille et appliquer la loi des mailles pour relier les tensions $U$.
Utiliser la loi d'Ohm $U = R \cdot I$ pour substituer les tensions et résoudre le système d'équations afin de trouver les grandeurs inconnues.
Calculer la puissance $P = U \cdot I$ et l'énergie transférée $E = P \cdot \Delta t$ (en joules, $\text{J}$) si demandé.

Exemple
Un générateur maintient une tension constante de $U = 12\text{ V}$ aux bornes d'une association en série de deux résistors de résistances $R_1 = 40\text{ }\Omega$ et $R_2 = 60\text{ }\Omega$. Détermine l'intensité du courant dans le circuit, la tension aux bornes de chaque résistor ainsi que la puissance totale dissipée par effet Joule.

Corrigé pas à pas
1. Les deux résistors étant en série, la résistance équivalente est $R_{\text{eq}} = R_1 + R_2 = 40 + 60 = 100\text{ }\Omega$.
2. D'après la loi d'Ohm globale, l'intensité du courant vaut $I = \frac{U}{R_{\text{eq}}} = \frac{12}{100} = 0{,}12\text{ A}$ (soit $120\text{ mA}$).
3. La tension aux bornes de $R_1$ est $U_1 = R_1 \cdot I = 40 \cdot 0{,}12 = 4{,}8\text{ V}$.
4. La tension aux bornes de $R_2$ est $U_2 = R_2 \cdot I = 60 \cdot 0{,}12 = 7{,}2\text{ V}$. On vérifie la loi des mailles : $U_1 + U_2 = 4{,}8 + 7{,}2 = 12\text{ V} = U$.
5. La puissance totale dissipée par effet Joule est $P = U \cdot I = 12 \cdot 0{,}12 = 1{,}44\text{ W}$ (ou $P = R_{\text{eq}} \cdot I^2 = 100 \cdot 0{,}12^2 = 1{,}44\text{ W}$).

Erreurs fréquentes
Confondre la tension (grandeur mesurée entre deux points, en dérivation) et l'intensité (grandeur mesurée en un point, en série).
Additionner les résistances branchées en parallèle comme si elles étaient en série (en parallèle, $\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$).
Oublier de convertir les unités en unités SI (ex. milliampères en ampères ou minutes en secondes pour les calculs d'énergie).

Ondes périodiques et propagation

Une onde mécanique ou électromagnétique est la propagation d'une perturbation transportant de l'énergie sans transport global de matière. Une onde progressive périodique présente une double périodicité : une périodicité temporelle caractérisée par la période $T$ (en secondes, $\text{s}$) ou la fréquence $f = \frac{1}{T}$ (en hertz, $\text{Hz}$), et une périodicité spatiale caractérisée par la longueur d'onde $\lambda$ (en mètres, $\text{m}$). La relation fondamentale liant la célérité (vitesse de propagation) $v$, la longueur d'onde et la fréquence est : $v = \frac{\lambda}{T} = \lambda \cdot f$.

Méthode
Identifier la nature de l'onde (mécanique nécessitant un milieu matériel, ou électromagnétique pouvant se propager dans le vide).
Déterminer la période $T$ ou la fréquence $f$ à partir des données temporelles en utilisant $f = \frac{1}{T}$.
Déterminer la longueur d'onde $\lambda$ à partir des données spatiales (distance minimale entre deux points vibrant en phase).
Appliquer la relation $v = \lambda \cdot f$ ou $\lambda = \frac{v}{f}$ en veillant à la cohérence des unités SI ($v$ en $\text{m/s}$, $\lambda$ en $\text{m}$, $f$ en $\text{Hz}$).
Calculer le retard temporel $\tau$ d'un point situé à la distance $d$ de la source par la relation $\tau = \frac{d}{v}$.

Exemple
Un vibreur crée à la surface de l'eau une onde sinusoïdale de fréquence $f = 50\text{ Hz}$. La distance mesurée entre la première crête et la quatrième crête consécutive est de $d = 7{,}5\text{ cm}$. Détermine la longueur d'onde $\lambda$ et la célérité $v$ de l'onde à la surface de l'eau.

Corrigé pas à pas
1. Entre la 1ère et la 4ème crête consécutive, il y a $4 - 1 = 3$ longueurs d'onde. On a donc $3\lambda = d = 7{,}5\text{ cm}$, d'où $\lambda = \frac{7{,}5}{3} = 2{,}5\text{ cm} = 0{,}025\text{ m}$.
2. La célérité de l'onde est donnée par la relation $v = \lambda \cdot f$.
3. Application numérique : $v = 0{,}025\text{ m} \times 50\text{ s}^{-1} = 1{,}25\text{ m/s}$.

Erreurs fréquentes
Confondre période temporelle $T$ (durée d'une oscillation, lue sur un graphique en fonction du temps) et longueur d'onde $\lambda$ (distance d'un motif élémentaire, lue sur un profil spatial en fonction de la position).
Compter $N$ longueurs d'onde entre $N$ crêtes au lieu de $N-1$.
Penser que la matière se déplace à la vitesse de l'onde : seul l'état vibratoire et l'énergie se propagent, les points du milieu oscillent localement autour de leur position d'équilibre.

Calculer la résistance équivalente et les grandeurs d'un circuit mixte

1. Repérer les portions du circuit branchées en série et celles branchées en parallèle (dérivation).
2. Remplacer les branches en parallèle par leur résistance équivalente : $\frac{1}{R_p} = \frac{1}{R_a} + \frac{1}{R_b}$ soit $R_p = \frac{R_a \cdot R_b}{R_a + R_b}$.
3. Additionner les résistances en série pour trouver la résistance équivalente totale : $R_{\text{tot}} = R_{\text{série}} + R_p$.
4. Calculer le courant principal délivré par le générateur avec $I_{\text{tot}} = \frac{U_{\text{générateur}}}{R_{\text{tot}}}$.
5. Déterminer les tensions partielles et les courants dérivés en appliquant successivement la loi d'Ohm aux différents dipôles.

Exemple
Un générateur de $U = 24\text{ V}$ alimente un circuit composé d'une résistance $R_1 = 10\text{ }\Omega$ placée en série avec un ensemble de deux résistances en dérivation $R_2 = 30\text{ }\Omega$ et $R_3 = 60\text{ }\Omega$. Détermine la résistance équivalente totale et l'intensité du courant traversant $R_2$.

Corrigé pas à pas
1. Résistance équivalente de la dérivation $(R_2 \parallel R_3)$ : $R_{23} = \frac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3} = \frac{30 \cdot 60}{30 + 60} = \frac{1800}{90} = 20\text{ }\Omega$.
2. Résistance équivalente totale : $R_{\text{tot}} = R_1 + R_{23} = 10 + 20 = 30\text{ }\Omega$.
3. Courant total débité par le générateur : $I_{\text{tot}} = \frac{U}{R_{\text{tot}}} = \frac{24}{30} = 0{,}80\text{ A}$. Ce courant traverse entièrement $R_1$.
4. Tension aux bornes de la dérivation : $U_{23} = R_{23} \cdot I_{\text{tot}} = 20 \cdot 0{,}80 = 16\text{ V}$.
5. Intensité traversant $R_2$ : $I_2 = \frac{U_{23}}{R_2} = \frac{16}{30} \approx 0{,}53\text{ A}$.

Déterminer la célérité et la fréquence d'une onde à partir de graphes

1. Identifier le type de graphe : variation temporelle $y(t)$ en un point fixé ou profil spatial $y(x)$ à un instant donné.
2. Sur le graphe temporel $y(t)$, mesurer la période $T$ entre deux sommets consécutifs et calculer $f = \frac{1}{T}$.
3. Sur le profil spatial $y(x)$, mesurer la longueur d'onde $\lambda$ entre deux sommets consécutifs.
4. Calculer la célérité avec $v = \frac{\lambda}{T} = \lambda \cdot f$ en veillant à la conversion des unités d'axes (ms en s, cm en m).

Exemple
L'analyse d'une onde progressive se propageant le long d'une corde montre qu'un point vibrant effectue une oscillation complète en $T = 40\text{ ms}$. Sur une photographie instantanée de la corde, la distance entre deux crêtes successives est mesurée à $\lambda = 16\text{ cm}$. Calcule la fréquence de la source et la célérité de propagation le long de la corde.

Corrigé pas à pas
1. Conversion de la période : $T = 40\text{ ms} = 40 \times 10^{-3}\text{ s} = 0{,}040\text{ s}$.
2. Fréquence : $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}040} = 25\text{ Hz}$.
3. Conversion de la longueur d'onde : $\lambda = 16\text{ cm} = 0{,}16\text{ m}$.
4. Célérité de l'onde : $v = \lambda \cdot f = 0{,}16 \cdot 25 = 4{,}0\text{ m/s}$ (ou $v = \frac{\lambda}{T} = \frac{0{,}16}{0{,}040} = 4{,}0\text{ m/s}$).

Formulaire d'électricité

• Loi d'Ohm : $U = R \cdot I$
• Puissance électrique : $P = U \cdot I = R \cdot I^2 = \frac{U^2}{R}$
• Énergie électrique : $E = P \cdot \Delta t = U \cdot I \cdot \Delta t$ (en Joules avec $\Delta t$ en secondes)
• Résistances en série : $R_{\text{eq}} = R_1 + R_2 + \dots + R_n$
• Résistances en parallèle : $\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + \dots + \frac{1}{R_n}$

Formulaire des ondes

• Fréquence et période : $f = \frac{1}{T}$ et $T = \frac{1}{f}$
• Célérité de l'onde : $v = \frac{d}{\Delta t} = \frac{\lambda}{T} = \lambda \cdot f$
• Retard temporel : $\tau = \frac{d}{v}$
• Points en phase : distance $d = k \cdot \lambda$ (avec $k \in \mathbb{N}$)
• Points en opposition de phase : distance $d = \left(k + \frac{1}{2}\right) \cdot \lambda$ (avec $k \in \mathbb{N}$)