La Trigonométrie : Au-delà du Triangle Rectangle

Le Cercle Trigonométrique et la Mesure des Angles

En géométrie euclidienne, la trigonométrie étend les relations angulaires du triangle rectangle à l'étude des fonctions périodiques. Le concept central est le cercle trigonométrique, un cercle de rayon 1 centré à l'origine $O(0,0)$ d'un repère orthonormé. Il est orienté positivement (sens anti-horaire). Un angle est mesuré en degrés ou en radians. La mesure en radians est définie comme la longueur de l'arc de cercle intercepté par l'angle au centre sur un cercle de rayon 1. Un tour complet correspond à $360^{\circ}$ ou $2\pi$ radians.

Méthode
Pour convertir des degrés en radians, utilisez la proportion : $\frac{\text{angle en degrés}}{180^{\circ}} = \frac{\text{angle en radians}}{\pi}$.
Pour convertir des radians en degrés, utilisez la proportion : $\frac{\text{angle en radians}}{\pi} = \frac{\text{angle en degrés}}{180^{\circ}}$.

Exemple
Convertissez $150^{\circ}$ en radians et $\frac{5\pi}{6}$ radians en degrés.

Corrigé pas à pas
1. Conversion de $150^{\circ}$ en radians :\nNous utilisons la relation $\frac{\text{angle en degrés}}{180^{\circ}} = \frac{\text{angle en radians}}{\pi}$.\n$\frac{150}{180} = \frac{x}{\pi} \implies x = \frac{150\pi}{180} = \frac{5\pi}{6}$ radians.\n\n2. Conversion de $\frac{5\pi}{6}$ radians en degrés :\nNous utilisons la relation $\frac{\text{angle en radians}}{\pi} = \frac{\text{angle en degrés}}{180^{\circ}}$.\n$\frac{5\pi/6}{\pi} = \frac{y}{180} \implies \frac{5}{6} = \frac{y}{180} \implies y = \frac{5 \times 180}{6} = 5 \times 30 = 150^{\circ}$.

Erreurs fréquentes
Confondre le sens positif (anti-horaire) et négatif (horaire) de rotation sur le cercle trigonométrique.
Oublier d'indiquer l'unité de mesure (degrés ou radians) lors de la réponse, ou utiliser la mauvaise unité.
Ne pas simplifier les fractions d'angles en radians.

Définition des Fonctions Trigonométriques et Relations Fondamentales

Pour tout angle $\alpha$ (en radians) associé à un point $M(x_M, y_M)$ sur le cercle trigonométrique, les fonctions trigonométriques sont définies comme suit :\n- Le cosinus de $\alpha$, noté $\cos(\alpha)$, est l'abscisse du point $M$, soit $x_M$.\n- Le sinus de $\alpha$, noté $\sin(\alpha)$, est l'ordonnée du point $M$, soit $y_M$.\n- La tangente de $\alpha$, notée $\tan(\alpha)$, est le rapport $\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$, pour $\cos(\alpha) \neq 0$.\n- La cotangente de $\alpha$, notée $\cot(\alpha)$, est le rapport $\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$, pour $\sin(\alpha) \neq 0$.\n\nLes relations fondamentales découlent directement de ces définitions et du théorème de Pythagore :\n1. $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$\n2. $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$\n3. $\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}$ (si $\tan(\alpha) \neq 0$)\n\nCes fonctions sont périodiques : $\cos(\alpha + 2k\pi) = \cos(\alpha)$ et $\sin(\alpha + 2k\pi) = \sin(\alpha)$ pour tout entier $k$. La tangente est périodique de période $\pi$ : $\tan(\alpha + k\pi) = \tan(\alpha)$.

Méthode
Pour déterminer le signe d'une fonction trigonométrique pour un angle donné, localisez le quadrant de l'angle sur le cercle trigonométrique.
Rappelez-vous que le cosinus est positif dans les quadrants I et IV, négatif dans les quadrants II et III.
Le sinus est positif dans les quadrants I et II, négatif dans les quadrants III et IV.
La tangente est positive dans les quadrants I et III, négative dans les quadrants II et IV.

Exemple
Sachant que $\sin(x) = \frac{3}{5}$ et que $x$ est un angle du deuxième quadrant, déterminez $\cos(x)$ et $\tan(x)$.

Corrigé pas à pas
Puisque $x$ est dans le deuxième quadrant, nous savons que $\cos(x)$ doit être négatif.\nNous utilisons la relation fondamentale $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$.\n$\cos^2(x) + \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1$\n$\cos^2(x) + \frac{9}{25} = 1$\n$\cos^2(x) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{25-9}{25} = \frac{16}{25}$\n$\cos(x) = \pm\sqrt{\frac{16}{25}} = \pm\frac{4}{5}$.\nComme $x$ est dans le deuxième quadrant, $\cos(x)$ est négatif, donc $\cos(x) = -\frac{4}{5}$.\n\nMaintenant, calculons $\tan(x)$ :\n$\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$.

Erreurs fréquentes
Oublier de considérer le signe approprié de $\cos(x)$ ou $\sin(x)$ en fonction du quadrant de l'angle.
Confondre $\cos^2(x)$ avec $\cos(x^2)$ ou $(\cos x)^2$.
Ne pas vérifier les conditions d'existence pour la tangente et la cotangente (dénominateur non nul).

Formules d'Addition et de Duplication

Les formules d'addition permettent d'exprimer les fonctions trigonométriques d'une somme ou d'une différence d'angles en fonction des fonctions trigonométriques de chaque angle. Les formules de duplication en sont un cas particulier.\n\nFormules d'addition :\n- $\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$\n- $\cos(a-b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$\n- $\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$\n- $\sin(a-b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)$\n- $\tan(a+b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}$ (si les dénominateurs sont non nuls)\n- $\tan(a-b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)}$ (si les dénominateurs sont non nuls)\n\nFormules de duplication (cas particulier où $a=b$) :\n- $\cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a) = 2\cos^2(a) - 1 = 1 - 2\sin^2(a)$\n- $\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)$\n- $\tan(2a) = \frac{2\tan(a)}{1 - \tan^2(a)}$ (si le dénominateur est non nul)

Méthode
Identifiez si l'expression à calculer ou à simplifier est une somme/différence d'angles ou un angle double.
Choisissez la formule d'addition ou de duplication appropriée.
Substituez les valeurs connues ou les expressions dans la formule.
Simplifiez l'expression résultante en utilisant les valeurs trigonométriques remarquables si nécessaire.

Exemple
Calculez la valeur exacte de $\sin(\frac{7\pi}{12})$.

Corrigé pas à pas
Nous pouvons écrire $\frac{7\pi}{12}$ comme une somme d'angles remarquables, par exemple $\frac{7\pi}{12} = \frac{3\pi}{12} + \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}$.\nNous utilisons la formule d'addition pour le sinus : $\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$.\nIci, $a = \frac{\pi}{4}$ et $b = \frac{\pi}{3}$.\nNous connaissons les valeurs remarquables :\n$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$\n$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$\n\nSubstituons ces valeurs dans la formule :\n$\sin(\frac{7\pi}{12}) = \sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = \sin(\frac{\pi}{4})\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{4})\sin(\frac{\pi}{3})$\n$= \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$\n$= \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$.

Erreurs fréquentes
Confondre les signes dans les formules d'addition (par exemple, $\cos(a+b)$ avec un '+' entre les termes).
Ne pas reconnaître les angles remarquables ou ne pas connaître leurs valeurs trigonométriques exactes.
Oublier que $\cos(2a)$ a trois formes équivalentes et choisir la moins adaptée à la simplification.

Résolution d'Équations Trigonométriques Fondamentales

Les équations trigonométriques fondamentales sont de la forme $\sin(x) = k$, $\cos(x) = k$ ou $\tan(x) = k$, où $k$ est une constante réelle. La résolution de ces équations implique de trouver toutes les valeurs de $x$ qui satisfont l'égalité, généralement sur un intervalle donné ou sur l'ensemble des réels.\n\nPrincipes de résolution :\n- Pour $\cos(x) = k$ (avec $-1 \le k \le 1$) : Si $\alpha$ est une solution particulière (c'est-à-dire $\cos(\alpha) = k$), alors les solutions générales sont $x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = -\alpha + 2k\pi$, où $k \in \mathbb{Z}$.\n- Pour $\sin(x) = k$ (avec $-1 \le k \le 1$) : Si $\alpha$ est une solution particulière (c'est-à-dire $\sin(\alpha) = k$), alors les solutions générales sont $x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = \pi - \alpha + 2k\pi$, où $k \in \mathbb{Z}$.\n- Pour $\tan(x) = k$ (avec $k \in \mathbb{R}$) : Si $\alpha$ est une solution particulière (c'est-à-dire $\tan(\alpha) = k$), alors les solutions générales sont $x = \alpha + k\pi$, où $k \in \mathbb{Z}$.

Méthode
Identifiez la fonction trigonométrique et la valeur $k$.
Trouvez une solution particulière $\alpha$ dans l'intervalle $[0, 2\pi[$ (ou $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ pour la tangente) pour laquelle la fonction trigonométrique est égale à $k$.
Appliquez la formule générale de résolution correspondant à la fonction (cosinus, sinus ou tangente) pour obtenir toutes les solutions sur $\mathbb{R}$.
Si un intervalle de résolution est spécifié (par exemple $[0, 2\pi[$), substituez différentes valeurs entières de $k$ dans les solutions générales pour trouver celles qui appartiennent à l'intervalle.

Exemple
Résolvez l'équation $\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ sur l'intervalle $[0, 2\pi[$.

Corrigé pas à pas
1. Identifions la fonction et la valeur : Nous cherchons $x$ tel que $\sin(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.\n2. Trouvons une solution particulière : Nous savons que $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Puisque le sinus est négatif, les solutions se trouvent dans les quadrants III et IV.\nUne solution particulière dans le quadrant III est $\alpha_1 = \pi + \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$.\nUne solution particulière dans le quadrant IV est $\alpha_2 = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$.\n3. Appliquons les formules générales :\nLes solutions générales pour $\sin(x) = \sin(\alpha)$ sont $x = \alpha + 2k\pi$ ou $x = \pi - \alpha + 2k\pi$.\nEn prenant $\alpha = \frac{4\pi}{3}$ :\n$x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = \pi - \frac{4\pi}{3} + 2k\pi = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$.\n4. Filtrons les solutions sur l'intervalle $[0, 2\pi[$ :\nPour $x = \frac{4\pi}{3} + 2k\pi$ :\nSi $k=0$, $x = \frac{4\pi}{3}$. Cette solution est dans l'intervalle.\nSi $k=1$, $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3}$, qui est hors de l'intervalle.\nPour $x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi$ :\nSi $k=0$, $x = -\frac{\pi}{3}$, qui est hors de l'intervalle.\nSi $k=1$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. Cette solution est dans l'intervalle.\n\nLes solutions sur l'intervalle $[0, 2\pi[$ sont donc $x = \frac{4\pi}{3}$ et $x = \frac{5\pi}{3}$.

Erreurs fréquentes
Oublier la périodicité des fonctions trigonométriques et ne donner qu'une seule solution particulière au lieu de l'ensemble des solutions générales.
Ne pas considérer toutes les solutions possibles dans un quadrant donné (par exemple, pour $\cos(x)=k$, il y a $\alpha$ et $-\alpha$).
Faire des erreurs de calcul lors de la conversion des solutions générales à l'intervalle spécifié.

Convertir des angles entre degrés et radians

1. Pour convertir un angle $A$ en degrés vers des radians, utilisez la formule : $A_{\text{rad}} = A_{\text{deg}} \times \frac{\pi}{180}$.
2. Pour convertir un angle $A$ en radians vers des degrés, utilisez la formule : $A_{\text{deg}} = A_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi}$.
3. Simplifiez la fraction résultante si possible.

Exemple
Convertissez $240^{\circ}$ en radians, puis convertissez $\frac{11\pi}{6}$ radians en degrés.

Corrigé pas à pas
1. Conversion de $240^{\circ}$ en radians :\n$A_{\text{rad}} = 240 \times \frac{\pi}{180} = \frac{240\pi}{180} = \frac{24\pi}{18} = \frac{4\pi}{3}$ radians.\n\n2. Conversion de $\frac{11\pi}{6}$ radians en degrés :\n$A_{\text{deg}} = \frac{11\pi}{6} \times \frac{180}{\pi} = \frac{11 \times 180}{6} = 11 \times 30 = 330^{\circ}$.

Calculer des valeurs trigonométriques exactes pour des angles remarquables

1. Identifiez l'angle et déterminez s'il est un angle remarquable (par exemple, $0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$, etc.) ou s'il peut être ramené à un angle remarquable par symétrie sur le cercle trigonométrique.
2. Localisez l'angle sur le cercle trigonométrique pour déterminer le quadrant et donc le signe du sinus, cosinus et tangente.
3. Utilisez les valeurs exactes mémorisées pour les angles du premier quadrant et appliquez les règles de symétrie :\n- $\cos(\pi - x) = -\cos(x)$, $\sin(\pi - x) = \sin(x)$\n- $\cos(\pi + x) = -\cos(x)$, $\sin(\pi + x) = -\sin(x)$\n- $\cos(2\pi - x) = \cos(x)$, $\sin(2\pi - x) = -\sin(x)$ (ou $\cos(-x) = \cos(x)$, $\sin(-x) = -\sin(x)$).
4. Calculez la valeur finale en tenant compte du signe.

Exemple
Calculez la valeur exacte de $\cos(\frac{5\pi}{6})$ et $\tan(\frac{4\pi}{3})$.

Corrigé pas à pas
1. Pour $\cos(\frac{5\pi}{6})$ :\nL'angle $\frac{5\pi}{6}$ est dans le deuxième quadrant (car $\frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi$). Dans ce quadrant, le cosinus est négatif.\nNous pouvons écrire $\frac{5\pi}{6} = \pi - \frac{\pi}{6}$.\nDonc $\cos(\frac{5\pi}{6}) = \cos(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\cos(\frac{\pi}{6})$.\nNous savons que $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.\nPar conséquent, $\cos(\frac{5\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.\n\n2. Pour $\tan(\frac{4\pi}{3})$ :\nL'angle $\frac{4\pi}{3}$ est dans le troisième quadrant (car $\pi < \frac{4\pi}{3} < \frac{3\pi}{2}$). Dans ce quadrant, la tangente est positive.\nNous pouvons écrire $\frac{4\pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3}$.\nDonc $\tan(\frac{4\pi}{3}) = \tan(\pi + \frac{\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{3})$.\nNous savons que $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.\nPar conséquent, $\tan(\frac{4\pi}{3}) = \sqrt{3}$.

Appliquer les formules d'addition et de duplication

1. Analysez l'expression ou la valeur à calculer : s'agit-il d'une somme/différence d'angles ($a \pm b$) ou d'un angle double ($2a$) ?
2. Choisissez la formule appropriée parmi les formules d'addition ou de duplication pour le sinus, cosinus ou tangente.
3. Identifiez les valeurs de $a$ et $b$ (ou $a$ seul pour la duplication). Si l'angle n'est pas directement une somme/différence d'angles remarquables, essayez de le décomposer.
4. Substituez les valeurs trigonométriques connues des angles $a$ et $b$ (ou $a$) dans la formule.
5. Effectuez les calculs et simplifiez l'expression résultante pour obtenir la valeur exacte.

Exemple
Calculez la valeur exacte de $\cos(105^{\circ})$ et $\sin(2x)$ si $\sin(x) = \frac{1}{3}$ et $x \in ]\frac{\pi}{2}, \pi[$.

Corrigé pas à pas
1. Calcul de $\cos(105^{\circ})$ :\nNous pouvons écrire $105^{\circ}$ comme une somme d'angles remarquables : $105^{\circ} = 60^{\circ} + 45^{\circ}$.\nUtilisons la formule d'addition pour le cosinus : $\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$.\nIci, $a = 60^{\circ}$ et $b = 45^{\circ}$.\n$\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$, $\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$\n$\cos(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$\n$\cos(105^{\circ}) = \cos(60^{\circ})\cos(45^{\circ}) - \sin(60^{\circ})\sin(45^{\circ})$\n$= \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$\n$= \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$.\n\n2. Calcul de $\sin(2x)$ si $\sin(x) = \frac{1}{3}$ et $x \in ]\frac{\pi}{2}, \pi[$ :\nLa formule de duplication pour le sinus est $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.\nNous connaissons $\sin(x) = \frac{1}{3}$. Il nous faut $\cos(x)$.\nUtilisons la relation fondamentale : $\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$.\n$\cos^2(x) + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 \implies \cos^2(x) + \frac{1}{9} = 1 \implies \cos^2(x) = \frac{8}{9}$.\n$\cos(x) = \pm\sqrt{\frac{8}{9}} = \pm\frac{2\sqrt{2}}{3}$.\nPuisque $x \in ]\frac{\pi}{2}, \pi[$, $x$ est dans le deuxième quadrant, où le cosinus est négatif. Donc $\cos(x) = -\frac{2\sqrt{2}}{3}$.\nMaintenant, substituons dans la formule de duplication :\n$\sin(2x) = 2\left(\frac{1}{3}\right)\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right) = -\frac{4\sqrt{2}}{9}$.

Mesure des angles et cercle trigonométrique

• $180^{\circ} = \pi$ radians
• Sens positif : anti-horaire
• Point $M(\cos(\alpha), \sin(\alpha))$ sur le cercle trigonométrique

Relations fondamentales

• $\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha) = 1$
• $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ (si $\cos(\alpha) \neq 0$)
• $\cot(\alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$ (si $\sin(\alpha) \neq 0$)

Formules d'addition et de duplication

• $\cos(a+b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$
• $\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$
• $\tan(a+b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 - \tan(a)\tan(b)}$
• $\cos(2a) = \cos^2(a) - \sin^2(a) = 2\cos^2(a) - 1 = 1 - 2\sin^2(a)$
• $\sin(2a) = 2\sin(a)\cos(a)$
• $\tan(2a) = \frac{2\tan(a)}{1 - \tan^2(a)}$

Résolution d'équations trigonométriques

• $\cos(x) = \cos(\alpha) \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ ou } x = -\alpha + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$
• $\sin(x) = \sin(\alpha) \iff x = \alpha + 2k\pi \text{ ou } x = \pi - \alpha + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$
• $\tan(x) = \tan(\alpha) \iff x = \alpha + k\pi, k \in \mathbb{Z}$