Équations et Inéquations du Premier et du Second Degré

1. Équations du premier degré

Une équation du premier degré est une égalité qui peut être ramenée à la forme canonique $ax + b = 0$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels, avec $a \neq 0$. L'objectif est de trouver la ou les valeurs de l'inconnue $x$ qui rendent cette égalité vraie.

Méthode
Développer et réduire les expressions de chaque côté de l'égalité pour éliminer les parenthèses et regrouper les termes similaires.
Regrouper tous les termes contenant l'inconnue $x$ d'un côté de l'égalité (généralement le membre de gauche) et tous les termes constants de l'autre côté (membre de droite). Lors du déplacement d'un terme d'un membre à l'autre, son signe doit être changé.
Réduire les termes de chaque membre pour obtenir une équation de la forme $Ax = B$.
Diviser les deux membres de l'équation par le coefficient de $x$ (qui est $A$) pour isoler $x$. La solution est alors $x = \frac{B}{A}$.

Exemple
Résoudre l'équation suivante : $3(x - 2) + 5 = 2x - 1$.

Corrigé pas à pas
1. Développer et réduire les expressions :
$3x - 6 + 5 = 2x - 1$
$3x - 1 = 2x - 1$

2. Regrouper les termes en $x$ et les constantes :
$3x - 2x = -1 + 1$

3. Réduire les termes :
$x = 0$

La solution de l'équation est $x = 0$. On peut vérifier en remplaçant $x$ par 0 dans l'équation initiale : $3(0-2)+5 = 3(-2)+5 = -6+5 = -1$. Et $2(0)-1 = -1$. L'égalité est vérifiée.

Erreurs fréquentes
Oublier de changer le signe d'un terme lors de son déplacement d'un membre à l'autre de l'égalité.
Erreurs de calcul lors du développement ou de la réduction des expressions.
Diviser par un nombre nul, ce qui est impossible et indique une situation particulière (pas de solution ou infinité de solutions).

2. Inéquations du premier degré

Une inéquation du premier degré est une inégalité qui peut être ramenée à l'une des formes $ax + b > 0$, $ax + b < 0$, $ax + b \ge 0$, ou $ax + b \le 0$, où $a$ et $b$ sont des nombres réels, avec $a \neq 0$. L'objectif est de trouver l'ensemble des valeurs de l'inconnue $x$ qui rendent cette inégalité vraie.

Méthode
Appliquer les mêmes étapes de simplification et de regroupement des termes que pour les équations du premier degré, en veillant à conserver le sens de l'inégalité.
Lors de la multiplication ou de la division des deux membres de l'inégalité par un nombre négatif, il est impératif de changer le sens de l'inégalité (par exemple, $>$ devient $<$, et $\le$ devient $\ge$). Si le nombre est positif, le sens de l'inégalité est conservé.
Exprimer l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle et, si demandé, le représenter sur une droite numérique. Les crochets des intervalles sont orientés vers l'intérieur si la valeur est incluse (pour $\ge$ ou $\le$) et vers l'extérieur si elle est exclue (pour $>$ ou $<$). L'infini est toujours exclu.

Exemple
Résoudre l'inéquation suivante et représenter l'ensemble des solutions sur une droite numérique : $2x + 5 < 7x - 10$.

Corrigé pas à pas
1. Regrouper les termes en $x$ et les constantes :
$2x - 7x < -10 - 5$
$-5x < -15$

2. Diviser par le coefficient de $x$. Attention, ce coefficient est $-5$, qui est négatif. Il faut donc changer le sens de l'inégalité :
$\frac{-5x}{-5} > \frac{-15}{-5}$
$x > 3$

3. L'ensemble des solutions est l'intervalle $]3, +\infty[$. Sur une droite numérique, on marque le point 3, et on hachure la partie de la droite située à droite de 3. Le crochet est ouvert au niveau de 3 pour indiquer que 3 n'est pas inclus.

Erreurs fréquentes
Oublier de changer le sens de l'inégalité lors de la multiplication ou de la division par un nombre négatif.
Erreurs dans la notation des intervalles (inclusion/exclusion des bornes).
Confondre les règles de résolution des équations et des inéquations.

3. Équations du second degré

Une équation du second degré est une égalité qui peut être ramenée à la forme canonique $ax^2 + bx + c = 0$, où $a$, $b$, et $c$ sont des nombres réels, avec $a \neq 0$. L'objectif est de trouver la ou les valeurs de l'inconnue $x$ qui rendent cette égalité vraie.

Méthode
Ramener l'équation à la forme $ax^2 + bx + c = 0$ en regroupant tous les termes dans un seul membre.
Identifier les coefficients $a$, $b$, et $c$.
Calculer le discriminant $\Delta$ (delta) à l'aide de la formule : $\Delta = b^2 - 4ac$.
Analyser la valeur du discriminant pour déterminer le nombre de solutions réelles :
- Si $\Delta > 0$, l'équation admet deux solutions réelles distinctes : $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
- Si $\Delta = 0$, l'équation admet une unique solution réelle (dite 'double') : $x_0 = \frac{-b}{2a}$.
- Si $\Delta < 0$, l'équation n'admet aucune solution réelle.

Exemple
Résoudre l'équation : $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Corrigé pas à pas
1. L'équation est déjà sous la forme $ax^2 + bx + c = 0$.

2. Identifier les coefficients : $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$.

3. Calculer le discriminant $\Delta$ :
$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$.

4. Analyser le discriminant : Comme $\Delta = 1 > 0$, l'équation admet deux solutions réelles distinctes.

5. Calculer les solutions :
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2(1)} = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Les solutions de l'équation sont $x_1 = 2$ et $x_2 = 3$.

Erreurs fréquentes
Erreurs de signe lors du calcul de $b^2$ (un carré est toujours positif) ou de $-4ac$.
Oublier de ramener l'équation à la forme $ax^2 + bx + c = 0$ avant d'identifier les coefficients.
Confondre les formules des solutions, notamment le signe devant $\sqrt{\Delta}$.

4. Inéquations du second degré

Une inéquation du second degré est une inégalité qui peut être ramenée à l'une des formes $ax^2 + bx + c > 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \ge 0$, ou $ax^2 + bx + c \le 0$, où $a$, $b$, et $c$ sont des nombres réels, avec $a \neq 0$. L'objectif est de trouver l'ensemble des valeurs de l'inconnue $x$ qui rendent cette inégalité vraie.

Méthode
Ramener l'inéquation à une forme où tous les termes sont regroupés dans un seul membre et l'autre membre est 0 (par exemple, $ax^2 + bx + c \ge 0$).
Résoudre l'équation du second degré associée : $ax^2 + bx + c = 0$. Cela permet de trouver les racines (si elles existent), qui sont les valeurs où le trinôme change de signe.
Étudier le signe du trinôme $ax^2 + bx + c$ en utilisant la règle du signe d'un trinôme du second degré :
- Si $\Delta > 0$, le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines ($x < x_1$ ou $x > x_2$) et du signe opposé à $a$ entre les racines ($x_1 < x < x_2$).
- Si $\Delta = 0$, le trinôme est toujours du signe de $a$ (sauf en $x_0$ où il est nul).
- Si $\Delta < 0$, le trinôme est toujours du signe de $a$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.
Utiliser un tableau de signes pour visualiser l'étude du signe et en déduire l'ensemble des solutions de l'inéquation. Exprimer l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

Exemple
Résoudre l'inéquation : $x^2 - 3x - 4 \ge 0$.

Corrigé pas à pas
1. L'inéquation est déjà sous la forme $ax^2 + bx + c \ge 0$.

2. Résoudre l'équation associée $x^2 - 3x - 4 = 0$ :
Coefficients : $a = 1$, $b = -3$, $c = -4$.
Discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25$.
Comme $\Delta > 0$, il y a deux racines :
$x_1 = \frac{-(-3) - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1$.
$x_2 = \frac{-(-3) + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

3. Étudier le signe du trinôme $x^2 - 3x - 4$. Le coefficient $a = 1$ est positif. Donc, le trinôme est positif à l'extérieur des racines et négatif entre les racines.

Tableau de signes :
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $4$ | $+\infty$ |
|-----------------|-----------|----------------|-----------------|------------|
| $x^2 - 3x - 4$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |

4. L'inéquation est $x^2 - 3x - 4 \ge 0$. Nous cherchons les intervalles où le trinôme est positif ou nul.
L'ensemble des solutions est $]-\infty, -1] \cup [4, +\infty[$. Les crochets sont fermés car l'inégalité inclut l'égalité à zéro.

Erreurs fréquentes
Ne pas ramener l'inéquation à la forme $ax^2 + bx + c \lesseqgtr 0$ avant de commencer.
Erreurs dans l'application de la règle du signe du trinôme (confondre 'à l'intérieur' et 'à l'extérieur' des racines, ou le signe de $a$).
Erreurs dans la notation des intervalles (inclusion/exclusion des bornes, union d'intervalles).

Résoudre une équation du premier degré

1. Développer et simplifier chaque membre de l'équation.
2. Regrouper tous les termes en $x$ dans un membre et les constantes dans l'autre, en changeant les signes des termes déplacés.
3. Réduire les termes de chaque membre pour obtenir la forme $Ax = B$.
4. Diviser les deux membres par $A$ (si $A \neq 0$) pour trouver $x = \frac{B}{A}$.

Exemple
Résoudre $2(x+3) = 4x - 2$.

Corrigé pas à pas
1. Développer : $2x + 6 = 4x - 2$.
2. Regrouper : $2x - 4x = -2 - 6$.
3. Réduire : $-2x = -8$.
4. Diviser : $x = \frac{-8}{-2} = 4$. La solution est $x=4$.

Résoudre une inéquation du premier degré

1. Développer et simplifier chaque membre de l'inéquation.
2. Regrouper tous les termes en $x$ dans un membre et les constantes dans l'autre, en changeant les signes des termes déplacés.
3. Réduire les termes de chaque membre pour obtenir la forme $Ax \lesseqgtr B$.
4. Diviser les deux membres par $A$. Si $A$ est négatif, changer le sens de l'inégalité. Si $A$ est positif, conserver le sens.
5. Exprimer l'ensemble des solutions sous forme d'intervalle.

Exemple
Résoudre $-3x + 7 \le 13$.

Corrigé pas à pas
1. L'inéquation est déjà simplifiée.
2. Regrouper : $-3x \le 13 - 7$.
3. Réduire : $-3x \le 6$.
4. Diviser par $-3$ (négatif), donc changer le sens : $x \ge \frac{6}{-3}$, soit $x \ge -2$.
5. L'ensemble des solutions est $[-2, +\infty[$.

Résoudre une équation du second degré par le discriminant

1. Ramener l'équation à la forme $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Identifier les coefficients $a$, $b$, et $c$.
3. Calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.
4. Si $\Delta > 0$, les solutions sont $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$.
5. Si $\Delta = 0$, la solution unique est $x_0 = \frac{-b}{2a}$.
6. Si $\Delta < 0$, il n'y a pas de solution réelle.

Exemple
Résoudre $x^2 + 2x - 3 = 0$.

Corrigé pas à pas
1. L'équation est déjà sous la forme $ax^2 + bx + c = 0$.
2. $a=1$, $b=2$, $c=-3$.
3. $\Delta = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$.
4. Comme $\Delta = 16 > 0$, il y a deux solutions :
$x_1 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-2 - 4}{2} = -3$.
$x_2 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2(1)} = \frac{-2 + 4}{2} = 1$.
Les solutions sont $-3$ et $1$.

Étudier le signe d'un trinôme du second degré

1. S'assurer que le trinôme est sous la forme $ax^2 + bx + c$.
2. Résoudre l'équation associée $ax^2 + bx + c = 0$ pour trouver les racines $x_1, x_2$ (si elles existent).
3. Identifier le signe du coefficient $a$.
4. Construire un tableau de signes :
5. - Si $\Delta > 0$ (deux racines $x_1 < x_2$), le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines ($]-\infty, x_1[ \cup ]x_2, +\infty[$) et du signe opposé à $a$ entre les racines ($]x_1, x_2[$). Il est nul aux racines.
6. - Si $\Delta = 0$ (une racine $x_0$), le trinôme est toujours du signe de $a$ (sauf en $x_0$ où il est nul).
7. - Si $\Delta < 0$ (pas de racine réelle), le trinôme est toujours du signe de $a$ pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Exemple
Étudier le signe de $f(x) = -2x^2 + 4x - 2$.

Corrigé pas à pas
1. Le trinôme est sous la forme $ax^2 + bx + c$.
2. Résoudre $-2x^2 + 4x - 2 = 0$ :
$a=-2, b=4, c=-2$.
$\Delta = 4^2 - 4(-2)(-2) = 16 - 16 = 0$.
Il y a une racine double : $x_0 = \frac{-4}{2(-2)} = \frac{-4}{-4} = 1$.
3. Le coefficient $a = -2$ est négatif.
4. Comme $\Delta = 0$ et $a < 0$, le trinôme est toujours négatif, sauf en $x=1$ où il est nul.
Tableau de signes :
| $x$ | $-\infty$ | $1$ | $+\infty$ |
|-----------------|-----------|---------------|------------|
| $-2x^2 + 4x - 2$| $-$ | $0$ | $-$ |

Équations du premier degré

• Forme générale : $ax + b = 0$ (avec $a \neq 0$).
• Solution : $x = -\frac{b}{a}$.

Équations du second degré

• Forme générale : $ax^2 + bx + c = 0$ (avec $a \neq 0$).
• Discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$.
• Si $\Delta > 0$ : deux solutions $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
• Si $\Delta = 0$ : une solution double $x_0 = \frac{-b}{2a}$.
• Si $\Delta < 0$ : aucune solution réelle.

Inéquations du premier degré

• Règle clé : Changer le sens de l'inégalité si l'on multiplie ou divise par un nombre négatif.
• Représentation des solutions sous forme d'intervalle (ex: $]-\infty, a[$, $[b, +\infty[$, etc.).

Signe d'un trinôme du second degré ($ax^2 + bx + c$)

• Si $\Delta > 0$ (deux racines $x_1 < x_2$) : le trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, et du signe opposé à $a$ entre les racines.
• Si $\Delta = 0$ (une racine $x_0$) : le trinôme est toujours du signe de $a$ (nul en $x_0$).
• Si $\Delta < 0$ (aucune racine réelle) : le trinôme est toujours du signe de $a$.