Analyse : fonctions, limites, dérivées

Les fonctions : Rappels et concepts fondamentaux

Une fonction $f$ est une relation qui associe à chaque élément $x$ d'un ensemble de départ (appelé domaine de définition $D_f$) un unique élément $y$ d'un ensemble d'arrivée. On note $y = f(x)$. L'analyse des fonctions vise à comprendre leur comportement : où elles sont définies, comment elles varient, et quelles sont leurs propriétés asymptotiques ou extrémales.

Méthode
Déterminer le domaine de définition ($D_f$) : Identifier les valeurs de $x$ pour lesquelles $f(x)$ est définie. Les restrictions courantes incluent :
• Dénominateur non nul pour les fonctions rationnelles.
• Argument d'une racine carrée (ou d'ordre pair) positif ou nul.
• Argument d'un logarithme strictement positif.
Étudier la parité : Une fonction est paire si $f(-x) = f(x)$ (symétrie par rapport à l'axe des $y$). Elle est impaire si $f(-x) = -f(x)$ (symétrie par rapport à l'origine).
Identifier les asymptotes : Les asymptotes sont des droites dont la courbe de la fonction se rapproche indéfiniment. Elles peuvent être verticales (AV), horizontales (AH) ou obliques (AO). Leur recherche est intrinsèquement liée au calcul de limites.

Exemple
Déterminez le domaine de définition de la fonction $f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-3}$.

Corrigé pas à pas
Pour que $f(x)$ soit définie, deux conditions doivent être remplies :
1. L'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle : $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.
2. Le dénominateur ne doit pas être nul : $x-3 \ne 0 \implies x \ne 3$.
En combinant ces deux conditions, le domaine de définition $D_f$ est l'ensemble des réels $x$ tels que $x \ge 1$ et $x \ne 3$. On peut l'écrire sous forme d'intervalle : $D_f = [1, 3[ \cup ]3, +\infty[.$

Erreurs fréquentes
Oublier une condition pour le domaine de définition (par exemple, ne considérer que le dénominateur pour une fonction avec une racine au numérateur).
Confondre les conditions de parité ($f(-x) = f(x)$ pour paire, $f(-x) = -f(x)$ pour impaire).

Les limites de fonctions

La limite d'une fonction $f(x)$ lorsque $x$ tend vers une valeur $a$ (finie ou infinie) décrit le comportement de $f(x)$ à l'approche de $a$. Si $f(x)$ s'approche d'une valeur $L$ lorsque $x$ s'approche de $a$, on écrit $\lim_{x \to a} f(x) = L$. Les limites sont essentielles pour étudier la continuité, les asymptotes et le comportement des fonctions aux bornes de leur domaine.

Méthode
Substitution directe : Si $f(x)$ est une fonction continue en $a$, alors $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
Formes indéterminées : Lorsque la substitution directe conduit à des expressions comme $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$, $0 \times \infty$, etc., des techniques spécifiques sont requises :
• Factorisation et simplification : Pour les formes $\frac{0}{0}$ impliquant des polynômes.
• Multiplication par le conjugué : Pour les formes $\frac{0}{0}$ ou $\infty - \infty$ impliquant des racines carrées.
• Mise en évidence du terme de plus haut degré : Pour les limites à l'infini de fonctions polynomiales ou rationnelles.
• Règles des limites de fonctions usuelles : Connaître les limites de $\ln(x)$, $e^x$, $x^n$ en $0$ et à l'infini.
Limites à l'infini et asymptotes horizontales : Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$ (où $L$ est un nombre réel), alors la droite d'équation $y=L$ est une asymptote horizontale.
Limites en un point et asymptotes verticales : Si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ ou $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$, alors la droite d'équation $x=a$ est une asymptote verticale.
Limites à l'infini et asymptotes obliques : Si $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = m$ (avec $m \ne 0$) et $\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = p$, alors la droite d'équation $y=mx+p$ est une asymptote oblique.

Exemple
Calculez la limite suivante : $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$.

Corrigé pas à pas
Si nous substituons directement $x=2$, nous obtenons $\frac{2^2 - 4}{2 - 2} = \frac{0}{0}$, ce qui est une forme indéterminée.
Nous pouvons factoriser le numérateur en utilisant l'identité $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ :
$x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.
La limite devient alors :
$\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x - 2}$
Comme $x \to 2$, $x \ne 2$, nous pouvons simplifier le terme $(x-2)$ au numérateur et au dénominateur :
$\lim_{x \to 2} (x+2)$
Maintenant, nous pouvons substituer $x=2$ :
$2+2 = 4$.
Donc, $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4.$

Erreurs fréquentes
Ne pas reconnaître une forme indéterminée et conclure hâtivement.
Simplifier des termes qui ne peuvent pas l'être (par exemple, simplifier $x$ dans $\frac{x+1}{x}$ en laissant $1$).
Oublier de vérifier les limites à gauche et à droite pour les asymptotes verticales ou les points de discontinuité.

Les dérivées de fonctions

La dérivée d'une fonction $f$ en un point $x_0$, notée $f'(x_0)$, représente le taux de variation instantané de la fonction en ce point. Géométriquement, c'est la pente de la tangente à la courbe de $f$ au point $(x_0, f(x_0))$. La fonction dérivée $f'(x)$ est la fonction qui associe à chaque $x$ de son domaine le nombre dérivé $f'(x)$.

Méthode
Calculer la dérivée en utilisant les règles de dérivation :
• Dérivée d'une constante : $(c)' = 0$
• Dérivée d'une puissance : $(x^n)' = nx^{n-1}$
• Dérivée d'une somme/différence : $(u \pm v)' = u' \pm v'$
• Dérivée d'un produit : $(uv)' = u'v + uv'$
• Dérivée d'un quotient : $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
• Dérivée d'une fonction composée (règle de la chaîne) : $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$
• Dérivées des fonctions usuelles : $(e^x)' = e^x$, $(\ln x)' = \frac{1}{x}$, $(\sin x)' = \cos x$, $(\cos x)' = -\sin x$, etc.
Étudier le sens de variation de la fonction :
• Si $f'(x) > 0$ sur un intervalle, $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
• Si $f'(x) < 0$ sur un intervalle, $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
• Si $f'(x) = 0$ en un point $x_0$ et que $f'(x)$ change de signe autour de $x_0$, alors $f$ admet un extremum local (maximum ou minimum) en $x_0$.
Déterminer la concavité et les points d'inflexion :
• Calculer la dérivée seconde $f''(x) = (f'(x))'$.
• Si $f''(x) > 0$ sur un intervalle, la fonction est convexe (sa courbe est 'tournée vers le haut').
• Si $f''(x) < 0$ sur un intervalle, la fonction est concave (sa courbe est 'tournée vers le bas').
• Si $f''(x) = 0$ en un point $x_0$ et que $f''(x)$ change de signe autour de $x_0$, alors $f$ admet un point d'inflexion en $x_0$.

Exemple
Calculez la dérivée de la fonction $f(x) = (3x^2 + 5)^4$ et déterminez son sens de variation.

Corrigé pas à pas
Il s'agit d'une fonction composée de la forme $u^n$, où $u = 3x^2 + 5$ et $n=4$. La règle de dérivation est $(u^n)' = n u^{n-1} u'$.
1. Calcul de la dérivée :
$u' = (3x^2 + 5)' = 3(2x) + 0 = 6x$.
Donc, $f'(x) = 4(3x^2 + 5)^{4-1} \cdot (6x) = 4(3x^2 + 5)^3 \cdot 6x = 24x(3x^2 + 5)^3$.
2. Sens de variation :
Nous devons étudier le signe de $f'(x) = 24x(3x^2 + 5)^3$.
• Le terme $(3x^2 + 5)$ est toujours positif ($3x^2 \ge 0$, donc $3x^2+5 \ge 5$). Par conséquent, $(3x^2 + 5)^3$ est toujours positif.
• Le signe de $f'(x)$ dépend donc uniquement du signe de $24x$.
• Si $x > 0$, alors $24x > 0$, donc $f'(x) > 0$. La fonction $f$ est croissante sur $]0, +\infty[$.
• Si $x < 0$, alors $24x < 0$, donc $f'(x) < 0$. La fonction $f$ est décroissante sur $]-\infty, 0[$.
• Si $x = 0$, alors $f'(0) = 0$. La fonction $f$ admet un minimum local en $x=0$. $f(0) = (3(0)^2+5)^4 = 5^4 = 625$.
En résumé, $f$ est décroissante sur $]-\infty, 0]$ et croissante sur $[0, +\infty[$, avec un minimum local en $(0, 625)$.

Erreurs fréquentes
Oublier la règle de la chaîne lors de la dérivation de fonctions composées.
Confondre les règles de dérivation du produit et du quotient.
Faire des erreurs de signe lors de l'application de la règle du quotient ou de la dérivation de fonctions trigonométriques.
Ne pas étudier correctement le signe de la dérivée pour déterminer les variations.

Calculer une limite d'une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ par factorisation

1. Étape 1 : Vérifiez que la limite est bien une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ en substituant la valeur vers laquelle $x$ tend.
2. Étape 2 : Factorisez le numérateur et le dénominateur. Pour une limite lorsque $x \to a$, $(x-a)$ doit être un facteur commun au numérateur et au dénominateur.
3. Étape 3 : Simplifiez le facteur commun $(x-a)$.
4. Étape 4 : Recalculez la limite par substitution directe avec l'expression simplifiée.

Exemple
Calculez $\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1}$.

Corrigé pas à pas
Étape 1 : Substitution directe donne $\frac{(-1)^3 + 1}{(-1)^2 - 1} = \frac{-1+1}{1-1} = \frac{0}{0}$, forme indéterminée.
Étape 2 : Factorisation.
Le numérateur est une somme de cubes : $x^3 + 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)$.
Le dénominateur est une différence de carrés : $x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$.
Étape 3 : Simplification.
$\lim_{x \to -1} \frac{(x+1)(x^2 - x + 1)}{(x-1)(x+1)} = \lim_{x \to -1} \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}$.
Étape 4 : Substitution directe.
$\frac{(-1)^2 - (-1) + 1}{-1 - 1} = \frac{1 + 1 + 1}{-2} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}$.
Donc, $\lim_{x \to -1} \frac{x^3 + 1}{x^2 - 1} = -\frac{3}{2}.$

Appliquer la règle de la chaîne pour la dérivation

1. Étape 1 : Identifiez la fonction externe $f(u)$ et la fonction interne $u = g(x)$.
2. Étape 2 : Dérivez la fonction externe par rapport à $u$, c'est-à-dire calculez $f'(u)$.
3. Étape 3 : Dérivez la fonction interne par rapport à $x$, c'est-à-dire calculez $g'(x)$.
4. Étape 4 : Multipliez les résultats des étapes 2 et 3, en substituant $u$ par $g(x)$ dans $f'(u)$. La formule est $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

Exemple
Dérivez la fonction $f(x) = \cos(4x^2 - 3)$.

Corrigé pas à pas
Étape 1 : La fonction externe est $f(u) = \cos(u)$, et la fonction interne est $u = g(x) = 4x^2 - 3$.
Étape 2 : Dérivée de la fonction externe par rapport à $u$ : $f'(u) = (\cos(u))' = -\sin(u)$.
Étape 3 : Dérivée de la fonction interne par rapport à $x$ : $g'(x) = (4x^2 - 3)' = 8x$.
Étape 4 : Multipliez les résultats et substituez $u$ par $4x^2 - 3$ :
$f'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = -\sin(4x^2 - 3) \cdot (8x) = -8x \sin(4x^2 - 3)$.
La dérivée de $f(x)$ est $f'(x) = -8x \sin(4x^2 - 3).$

Règles de dérivation essentielles

• $(c)' = 0$ (constante)
• $(x^n)' = nx^{n-1}$
• $(cu)' = cu'$
• $(u \pm v)' = u' \pm v'$
• $(uv)' = u'v + uv'$
• $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$
• $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ (règle de la chaîne)
• $(e^x)' = e^x$
• $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ (pour $x>0$)
• $(\sin x)' = \cos x$
• $(\cos x)' = -\sin x$

Formes indéterminées et techniques de levée

• $\frac{0}{0}$ : Factorisation, multiplication par le conjugué, règle de l'Hôpital (si au programme).
• $\frac{\infty}{\infty}$ : Mise en évidence du terme de plus haut degré, règle de l'Hôpital.
• $\infty - \infty$ : Multiplication par le conjugué, mise au même dénominateur, factorisation.
• $0 \times \infty$ : Transformation en $\frac{0}{0}$ ou $\frac{\infty}{\infty}$.

Interprétation des signes des dérivées

• $f'(x)$ :
• • $f'(x) > 0 \implies f$ est strictement croissante.
• • $f'(x) < 0 \implies f$ est strictement décroissante.
• • $f'(x) = 0$ et changement de signe de $f'(x) \implies$ extremum local (max ou min).
• $f''(x)$ :
• • $f''(x) > 0 \implies f$ est convexe (courbe 'tournée vers le haut').
• • $f''(x) < 0 \implies f$ est concave (courbe 'tournée vers le bas').
• • $f''(x) = 0$ et changement de signe de $f''(x) \implies$ point d'inflexion.