Statistiques et probabilités

Statistiques descriptives : moyenne, fréquence et étendue

En statistique, une série statistique rassemble des données collectées sur une population. L'effectif total $N$ est le nombre total d'observations. La fréquence d'une valeur est le rapport $\frac{\text{effectif}}{\text{effectif total}}$. La moyenne est la somme de toutes les données divisée par l'effectif total. L'étendue est la différence entre la plus grande valeur et la plus petite valeur de la série.

Méthode
Identifier chaque valeur $x_i$ et son effectif associé $n_i$.
Calculer l'effectif total $N = n_1 + n_2 + \dots + n_k$.
Calculer la moyenne pondérée : $\bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_k x_k}{N}$.
Calculer l'étendue : $\text{Étendue} = \text{valeur maximale} - \text{valeur minimale}$.

Exemple
Un groupe de 10 élèves a obtenu les résultats suivants à une évaluation notée sur 20 : 10, 10, 12, 12, 12, 12, 12, 15, 15, 15. Calculer l'étendue, la fréquence du résultat 12 et la moyenne du groupe.

Corrigé pas à pas
1. Valeur maximale = 15 et valeur minimale = 10. L'étendue est donc $15 - 10 = 5$.
2. Le résultat 12 apparaît 5 fois sur un total de 10 élèves. La fréquence est $f = \frac{5}{10} = 0{,}5$, soit $50\,\%$.
3. La moyenne est donnée par $\bar{x} = \frac{2 \times 10 + 5 \times 12 + 3 \times 15}{10} = \frac{20 + 60 + 45}{10} = \frac{125}{10} = 12{,}5$.

Erreurs fréquentes
Confondre l'effectif (le nombre d'élèves) et la valeur de la variable (le résultat).
Calculer la moyenne simple des valeurs sans tenir compte des effectifs associés (oublier de pondérer).
Oublier de diviser par l'effectif total lors du calcul de la moyenne.

Probabilités simples et équiprobabilité

Une expérience aléatoire est une expérience renouvelable dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance avec certitude. Chaque résultat possible est une issue. Un événement est un ensemble d'issues. Dans une situation d'équiprobabilité (toutes les issues ont la même chance de se produire), la probabilité d'un événement $A$ est : $$P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues possibles}}$$ Une probabilité est toujours un nombre compris entre 0 (événement impossible) et 1 (événement certain).

Méthode
Lister l'ensemble des issues possibles de l'expérience et compter le nombre total d'issues.
Identifier et dénombrer les issues qui réalisent l'événement étudié.
Appliquer le quotient $\frac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}$.
Donner le résultat sous forme de fraction simplifiée, de nombre décimal ou de pourcentage.

Exemple
On lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

Corrigé pas à pas
L'expérience est aléatoire et il y a équiprobabilité.
- Les issues possibles sont : 1, 2, 3, 4, 5, 6 (soit 6 issues au total).
- Les issues favorables à l'événement « obtenir un nombre pair » sont : 2, 4, 6 (soit 3 issues favorables).
- La probabilité est $P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5$ (soit $50\,\%$).

Erreurs fréquentes
Donner une probabilité supérieure à 1 ou strictement négative.
Appliquer la formule du quotient sans s'assurer que les issues sont équiprobables.
Confondre événement impossible ($P = 0$) et événement certain ($P = 1$).

Calculer une moyenne pondérée à partir d'un tableau d'effectifs

1. Multiplier chaque valeur par l'effectif correspondant pour obtenir les produits $n_i \times x_i$.
2. Faire la somme de tous ces produits.
3. Calculer la somme de tous les effectifs pour obtenir l'effectif total $N$.
4. Diviser la somme des produits par l'effectif total.

Exemple
Voici le nombre de livres lus en un mois par les membres d'un club : 3 personnes ont lu 1 livre, 4 personnes ont lu 2 livres, et 1 personne a lu 5 livres. Calculer le nombre moyen de livres lus par personne.

Corrigé pas à pas
1. Calcul des produits : $(3 \times 1) + (4 \times 2) + (1 \times 5) = 3 + 8 + 5 = 16$.
2. Calcul de l'effectif total : $3 + 4 + 1 = 8$ personnes.
3. Calcul de la moyenne : $\bar{x} = \frac{16}{8} = 2$.
Le nombre moyen de livres lus est de 2 par personne.

Calculer la probabilité d'un événement contraire

1. Identifier l'événement initial $A$ et calculer sa probabilité $P(A)$.
2. Reconnaître l'événement contraire $\bar{A}$ (« non $A$ »).
3. Utiliser la formule $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.

Exemple
La probabilité de gagner à une tombola est de $\frac{3}{20}$. Quelle est la probabilité de ne pas gagner ?

Corrigé pas à pas
L'événement « ne pas gagner » est l'événement contraire de « gagner ».
$P(\text{ne pas gagner}) = 1 - \frac{3}{20} = \frac{20}{20} - \frac{3}{20} = \frac{17}{20} = 0{,}85$.

Formules statistiques

• $\text{Fréquence} = \frac{\text{effectif d'une valeur}}{\text{effectif total}}$
• $\text{Moyenne pondérée } \bar{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_k x_k}{N}$
• $\text{Étendue} = \text{valeur maximale} - \text{valeur minimale}$

Propriétés des probabilités

• Pour tout événement $A$ : $0 \le P(A) \le 1$
• Équiprobabilité : $P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$
• Événement certain : $P(A) = 1$ ; Événement impossible : $P(A) = 0$
• Événement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$