Équations et inéquations (1er et 2e degré)

1. Rappel : Les équations du 1er degré

Une équation du 1er degré est une égalité qui contient une ou plusieurs inconnues (souvent représentées par la lettre $x$) et dont la plus haute puissance de l'inconnue est 1. Résoudre une équation, c'est trouver la ou les valeurs de l'inconnue qui rendent l'égalité vraie. Ces valeurs sont appelées les solutions de l'équation.

Méthode
Simplifier chaque membre : Réduisez les expressions de chaque côté de l'égalité en développant les parenthèses si nécessaire et en regroupant les termes similaires.
Regrouper les termes en $x$ : Déplacez tous les termes contenant l'inconnue $x$ dans un membre de l'équation (généralement le membre de gauche) et tous les termes constants (les nombres) dans l'autre membre (généralement le membre de droite). Pour cela, vous ajoutez ou soustrayez la même quantité aux deux membres de l'équation.
Isoler l'inconnue $x$ : Si $x$ est multiplié par un nombre, divisez les deux membres de l'équation par ce nombre. Si $x$ est divisé par un nombre, multipliez les deux membres par ce nombre.
Vérifier la solution : Remplacez la valeur trouvée pour $x$ dans l'équation de départ pour vous assurer que l'égalité est bien respectée.

Exemple
Résolvez l'équation suivante : $3(x - 2) + 5 = 2x + 7$

Corrigé pas à pas
1. Simplifier chaque membre :\n Développons le membre de gauche : $3x - 6 + 5 = 2x + 7$\n Regroupons les termes constants : $3x - 1 = 2x + 7$\n2. Regrouper les termes en $x$ :\n Soustrayons $2x$ des deux membres : $3x - 2x - 1 = 2x - 2x + 7$\n Ce qui donne : $x - 1 = 7$\n Ajoutons $1$ aux deux membres : $x - 1 + 1 = 7 + 1$\n Ce qui donne : $x = 8$\n3. Isoler l'inconnue $x$ :\n L'inconnue $x$ est déjà isolée.\n4. Vérifier la solution :\n Remplaçons $x$ par $8$ dans l'équation de départ :\n Membre de gauche : $3(8 - 2) + 5 = 3(6) + 5 = 18 + 5 = 23$\n Membre de droite : $2(8) + 7 = 16 + 7 = 23$\n Les deux membres sont égaux à $23$, donc la solution $x=8$ est correcte.\n L'ensemble des solutions est $S = \{8\}$.

Erreurs fréquentes
Oublier de changer le signe d'un terme lorsqu'il passe d'un membre à l'autre de l'équation (par exemple, $-2$ devient $+2$ en changeant de membre).
Faire des erreurs de calcul avec les nombres relatifs (addition, soustraction, multiplication, division).
Mal développer les parenthèses, surtout quand il y a un signe moins devant (par exemple, $-(x-3)$ n'est pas $-x-3$ mais $-x+3$).
Diviser par $0$ : une division par zéro est impossible et indique souvent une erreur dans la résolution ou que l'équation n'a pas de solution (ce qui est rare pour le 1er degré).

2. Les inéquations du 1er degré

Une inéquation du 1er degré est une inégalité qui contient une ou plusieurs inconnues (souvent $x$) et dont la plus haute puissance de l'inconnue est 1. Au lieu d'un signe égal ($=$), elle contient un des signes d'inégalité :\n $<$ (strictement inférieur à)\n $>$ (strictement supérieur à)\n $\le$ (inférieur ou égal à)\n $\ge$ (supérieur ou égal à)\nRésoudre une inéquation, c'est trouver toutes les valeurs de l'inconnue qui rendent l'inégalité vraie. Les solutions d'une inéquation sont souvent un intervalle de nombres, et non une seule valeur.

Méthode
Résoudre comme une équation : Appliquez les mêmes étapes que pour une équation du 1er degré (simplifier, regrouper les termes en $x$, isoler $x$).
Attention à la multiplication/division par un nombre négatif : C'est la règle la plus importante et la plus spécifique aux inéquations. Si vous multipliez ou divisez les deux membres de l'inéquation par un nombre négatif, vous devez changer le sens de l'inégalité (par exemple, $<$ devient $>$, et $\ge$ devient $\le$).
Représenter les solutions sur une droite numérique : Tracez une droite graduée. Placez la valeur trouvée pour $x$. Hachurez la partie de la droite qui correspond aux solutions. Utilisez un crochet pour indiquer si la valeur limite est incluse ou exclue de l'ensemble des solutions :\n Crochet tourné vers l'intervalle si la valeur est incluse ($\le$ ou $\ge$).\n Crochet tourné vers l'extérieur de l'intervalle si la valeur est exclue ($<$ ou $>$).

Exemple
Résolvez l'inéquation suivante et représentez ses solutions : $-2x + 5 < 11$

Corrigé pas à pas
1. Résoudre comme une équation (presque) :\n Soustrayons $5$ aux deux membres : $-2x + 5 - 5 < 11 - 5$\n Ce qui donne : $-2x < 6$\n2. Attention à la multiplication/division par un nombre négatif :\n Nous devons diviser par $-2$. Comme $-2$ est un nombre négatif, nous devons changer le sens de l'inégalité ( $<$ devient $>$ ) :\n $\frac{-2x}{-2} > \frac{6}{-2}$\n Ce qui donne : $x > -3$\n3. Représenter les solutions sur une droite numérique :\n Les solutions sont tous les nombres strictement supérieurs à $-3$. Sur une droite numérique, cela se représente par une demi-droite allant de $-3$ vers la droite (vers $+\infty$). Le crochet au niveau de $-3$ est tourné vers l'extérieur car $-3$ n'est pas inclus dans les solutions (l'inégalité est stricte).\n ```\n <----------------------------------------------------->\n ... -5 -4 [-3] -2 -1 0 1 2 3 ...\n (solutions sont à droite de -3, crochet ouvert vers la droite)\n ```\n L'ensemble des solutions est l'intervalle $S = ]-3, +\infty[$.

Erreurs fréquentes
Oublier de changer le sens de l'inégalité lors de la multiplication ou division par un nombre négatif. C'est l'erreur la plus fréquente !
Se tromper dans la représentation des crochets sur la droite numérique ou dans l'écriture de l'intervalle (confondre $]$ et $[$).
Faire des erreurs de calcul avec les nombres relatifs.

3. Introduction aux équations du 2e degré

Une équation du 2e degré est une égalité qui contient une inconnue (souvent $x$) et dont la plus haute puissance de l'inconnue est 2. Sa forme générale est $ax^2 + bx + c = 0$, où $a$, $b$, $c$ sont des nombres réels et $a$ doit être différent de $0$. Au niveau de la 3e secondaire, nous nous concentrons sur des cas particuliers qui peuvent être résolus sans la formule générale (discriminant).

Méthode
Cas 1 : Équations de type $x^2 = k$ (où $k$ est un nombre constant)\n Si $k > 0$ : L'équation a deux solutions : $x = \sqrt{k}$ et $x = -\sqrt{k}$.\n Si $k = 0$ : L'équation a une seule solution : $x = 0$.\n * Si $k < 0$ : L'équation n'a pas de solution réelle, car le carré d'un nombre réel ne peut jamais être négatif.
Cas 2 : Équations de type $ax^2 + bx = 0$ (où $c=0$)\n Factorisez l'expression par $x$ : $x(ax + b) = 0$.\n Utilisez la propriété du produit nul : Si un produit de facteurs est égal à zéro, alors au moins un de ses facteurs est égal à zéro. Donc, $x = 0$ ou $ax + b = 0$.\n * Résolvez l'équation du 1er degré $ax + b = 0$ pour trouver la deuxième solution.
Cas 3 : Équations de type $(x-a)(x-b)=0$ (forme factorisée)\n Utilisez directement la propriété du produit nul : $x - a = 0$ ou $x - b = 0$.\n Résolvez ces deux équations du 1er degré pour trouver les solutions.

Exemple
Résolvez les équations suivantes :\n a) $x^2 = 25$\n b) $3x^2 - 6x = 0$\n c) $(x+4)(2x-1) = 0$

Corrigé pas à pas
a) $x^2 = 25$\n C'est une équation de type $x^2 = k$ avec $k=25 > 0$.\n Les solutions sont $x = \sqrt{25}$ ou $x = -\sqrt{25}$.\n Donc, $x = 5$ ou $x = -5$.\n L'ensemble des solutions est $S = \{-5, 5\}$.\n\nb) $3x^2 - 6x = 0$\n C'est une équation de type $ax^2 + bx = 0$.\n Factorisons par $x$ : $x(3x - 6) = 0$.\n En utilisant la propriété du produit nul :\n $x = 0$ ou $3x - 6 = 0$\n Résolvons la deuxième équation :\n $3x = 6$\n $x = \frac{6}{3}$\n $x = 2$\n L'ensemble des solutions est $S = \{0, 2\}$.\n\nc) $(x+4)(2x-1) = 0$\n C'est une équation sous forme factorisée.\n En utilisant la propriété du produit nul :\n $x + 4 = 0$ ou $2x - 1 = 0$\n Résolvons chaque équation :\n $x = -4$\n $2x = 1 \implies x = \frac{1}{2}$\n L'ensemble des solutions est $S = \{-4, \frac{1}{2}\}$.

Erreurs fréquentes
Pour $x^2 = k$ avec $k>0$, oublier la solution négative (par exemple, donner seulement $x=5$ pour $x^2=25$).
Pour $ax^2 + bx = 0$, oublier la solution $x=0$ après la factorisation.
Tenter de diviser par $x$ dans $ax^2 + bx = 0$. Cela ferait perdre la solution $x=0$. Il faut toujours factoriser.
Ne pas reconnaître la forme factorisée et tenter de développer, ce qui compliquerait inutilement la résolution.

Résoudre une équation du 1er degré

1. Étape 1 : Simplifier les membres - Développez les parenthèses et regroupez les termes semblables de chaque côté de l'égalité.
2. Étape 2 : Regrouper les inconnues et les constantes - Déplacez tous les termes contenant l'inconnue ($x$) dans un membre (par exemple, à gauche) et tous les termes constants (les nombres) dans l'autre membre (à droite). N'oubliez pas de changer le signe des termes que vous déplacez.
3. Étape 3 : Isoler l'inconnue - Si l'inconnue est multipliée par un nombre, divisez les deux membres par ce nombre. Si elle est divisée, multipliez les deux membres par ce nombre.
4. Étape 4 : Vérifier la solution - Remplacez la solution trouvée dans l'équation de départ pour s'assurer que l'égalité est respectée.

Exemple
Résoudre $2(x+3) - 5 = x + 8$

Corrigé pas à pas
1. Simplifier les membres :\n $2x + 6 - 5 = x + 8$\n $2x + 1 = x + 8$\n2. Regrouper les inconnues et les constantes :\n $2x - x = 8 - 1$\n $x = 7$\n3. Isoler l'inconnue :\n L'inconnue est déjà isolée.\n4. Vérifier la solution :\n $2(7+3) - 5 = 2(10) - 5 = 20 - 5 = 15$\n $7 + 8 = 15$\n L'égalité est vérifiée. La solution est $x=7$.

Résoudre une inéquation du 1er degré et représenter ses solutions

1. Étape 1 : Simplifier les membres - Développez les parenthèses et regroupez les termes semblables de chaque côté de l'inégalité.
2. Étape 2 : Regrouper les inconnues et les constantes - Déplacez les termes en $x$ d'un côté et les constantes de l'autre, en changeant les signes si nécessaire.
3. Étape 3 : Isoler l'inconnue - Divisez ou multipliez les deux membres par le coefficient de $x$. ATTENTION : si vous multipliez ou divisez par un nombre négatif, vous devez changer le sens de l'inégalité.
4. Étape 4 : Représenter les solutions - Tracez une droite numérique. Placez la valeur limite. Hachurez la partie de la droite correspondant aux solutions. Utilisez un crochet pour indiquer si la valeur limite est incluse (crochet vers l'intérieur) ou exclue (crochet vers l'extérieur).

Exemple
Résoudre $-3x + 2 \ge 8$ et représenter les solutions.

Corrigé pas à pas
1. Simplifier les membres :\n L'inéquation est déjà simplifiée.\n2. Regrouper les inconnues et les constantes :\n $-3x \ge 8 - 2$\n $-3x \ge 6$\n3. Isoler l'inconnue :\n Divisons par $-3$. Puisque $-3$ est négatif, nous changeons le sens de l'inégalité ($\ge$ devient $\le$) :\n $x \le \frac{6}{-3}$\n $x \le -2$\n4. Représenter les solutions :\n Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à $-2$. Sur une droite numérique, c'est la demi-droite allant de $-\infty$ jusqu'à $-2$. Le crochet en $-2$ est tourné vers l'intervalle car $-2$ est inclus.\n ```\n <----------------------------------------------------->\n ... -5 -4 -3 [-2] -1 0 1 2 3 ...\n (solutions sont à gauche de -2, crochet fermé vers la gauche)\n ```\n L'ensemble des solutions est $S = ]-\infty, -2]$.

Résoudre des équations du 2e degré de type $x^2=k$ ou $ax^2+bx=0$

1. Cas $x^2 = k$ :\n Si $k > 0$, les solutions sont $x = \sqrt{k}$ et $x = -\sqrt{k}$.\n Si $k = 0$, la seule solution est $x = 0$.\n Si $k < 0$, il n'y a pas de solution réelle.\nCas $ax^2 + bx = 0$ :\n Étape 1 : Factoriser par $x$ - Mettez $x$ en évidence : $x(ax + b) = 0$.\n Étape 2 : Appliquer la propriété du produit nul - Posez chaque facteur égal à zéro : $x = 0$ ou $ax + b = 0$.\n Étape 3 : Résoudre l'équation du 1er degré - Résolvez $ax + b = 0$ pour trouver la deuxième solution.

Exemple
Résoudre : a) $x^2 = 49$ et b) $2x^2 + 8x = 0$

Corrigé pas à pas
a) $x^2 = 49$\n C'est du type $x^2 = k$ avec $k=49 > 0$.\n Les solutions sont $x = \sqrt{49}$ et $x = -\sqrt{49}$.\n Donc $x = 7$ ou $x = -7$.\n $S = \{-7, 7\}$.\n\nb) $2x^2 + 8x = 0$\n 1. Factoriser par $x$ : $x(2x + 8) = 0$.\n 2. Appliquer la propriété du produit nul : $x = 0$ ou $2x + 8 = 0$.\n 3. Résoudre l'équation du 1er degré :\n $2x + 8 = 0$\n $2x = -8$\n $x = \frac{-8}{2}$\n $x = -4$\n Les solutions sont $x=0$ et $x=-4$.\n $S = \{-4, 0\}$.

Équations du 1er degré

• Forme générale : $ax + b = 0$ (avec $a \ne 0$).
• Méthode : Isoler l'inconnue $x$ par des opérations inverses (addition/soustraction, multiplication/division) appliquées aux deux membres de l'équation.

Inéquations du 1er degré

• Forme générale : $ax + b < 0$, $ax + b > 0$, $ax + b \le 0$, $ax + b \ge 0$ (avec $a \ne 0$).
• Règle cruciale : Si vous multipliez ou divisez les deux membres de l'inéquation par un nombre négatif, vous devez changer le sens de l'inégalité.
• Les solutions sont des intervalles, représentées sur une droite numérique avec des crochets :\n Crochet vers l'intérieur pour $\le$ ou $\ge$ (valeur incluse).\n Crochet vers l'extérieur pour $<$ ou $>$ (valeur exclue).

Équations du 2e degré (cas particuliers)

• Type $x^2 = k$ :\n Si $k > 0$, $S = \{-\sqrt{k}, \sqrt{k}\}$\n Si $k = 0$, $S = \{0\}\}$\n * Si $k < 0$, pas de solution réelle.
• Type $ax^2 + bx = 0$ :\n Factoriser par $x$ : $x(ax + b) = 0$.\n Appliquer la propriété du produit nul : $x = 0$ ou $ax + b = 0$.
• Type $(x-a)(x-b) = 0$ :\n * Appliquer la propriété du produit nul : $x - a = 0$ ou $x - b = 0$.