Transformations du plan : symétries, translations et rotations

Les symétries axiale et centrale

Une transformation du plan est un glissement, un retournement ou une rotation qui associe à chaque point de départ un point d'arrivée appelé son image.

- La symétrie axiale (ou réflexion par rapport à un axe $d$) correspond à un « pliage » le long de la droite $d$. Si $A'$ est l'image de $A$ par la symétrie d'axe $d$, alors la droite $d$ est la médiatrice du segment $[AA']$ (elle coupe $[AA']$ perpendiculairement en son milieu).
- La symétrie centrale (par rapport à un centre $O$) correspond à un « demi-tour » de $180^\circ$ autour du point $O$. Si $A'$ est l'image de $A$ par rapport à $O$, alors le point $O$ est le milieu du segment $[AA']$.

Méthode
Pour construire l'image $A'$ de $A$ par une symétrie axiale d'axe $d$ : trace la perpendiculaire à $d$ passant par $A$, repère le point d'intersection $H$, puis reporte la distance $AH$ de l'autre côté de la droite pour placer $A'$ tel que $AH = HA'$.
Pour construire l'image $A'$ de $A$ par une symétrie centrale de centre $O$ : trace la demi-droite $[AO)$, puis reporte au compas ou à la règle la longueur $AO$ au-delà de $O$ pour placer $A'$ tel que $AO = OA'$.

Exemple
Soit un segment $[AB]$ de longueur $6\text{ cm}$. Le point $O$ est le centre d'une symétrie centrale. Sachant que $A'$ et $B'$ sont les images respectives de $A$ et $B$, quelle est la longueur du segment $[A'B']$ et quelle est la position relative des droites $(AB)$ et $(A'B')$ ?

Corrigé pas à pas
1. La symétrie centrale conserve les longueurs des segments. L'image du segment $[AB]$ est le segment $[A'B']$, donc $A'B' = AB = 6\text{ cm}$.
2. La symétrie centrale transforme toute droite en une droite qui lui est parallèle. Ainsi, les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont parallèles : $(AB) // (A'B')$.

Erreurs fréquentes
Confondre l'axe et le centre : une symétrie axiale s'effectue par rapport à une droite, tandis qu'une symétrie centrale s'effectue par rapport à un point.
Oublier l'angle droit lors de la construction d'une symétrie axiale : le segment $[AA']$ doit impérativement être perpendiculaire à l'axe.
Penser que la symétrie axiale conserve l'orientation : elle inverse le sens de rotation des figures (effet miroir), contrairement à la symétrie centrale.

La translation et la rotation

- Une translation correspond à un glissement sans rotation ni retournement. Elle est définie par :
1. Une direction (donnée par une droite ou des droites parallèles),
2. Un sens (vers la droite, vers le haut, etc.),
3. Une longueur (la distance du déplacement).
Si $A'$ est l'image de $A$ et $B'$ l'image de $B$ (avec $A, B, A'$ non alignés), alors le quadrilatère $ABB'A'$ est un parallélogramme.

- Une rotation correspond à un pivotement autour d'un point fixe. Elle est définie par :
1. Un centre de rotation (le point fixe $O$),
2. Un angle de rotation (en degrés),
3. Un sens de rotation : le sens horlogique (sens des aiguilles d'une montre) ou le sens antihorlogique (sens contraire des aiguilles d'une montre).
Si $A'$ est l'image de $A$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$, alors $OA = OA'$ et l'angle $\widehat{AOA'} = \alpha$.

Méthode
Pour construire l'image $A'$ d'un point $A$ par une translation qui transforme $M$ en $N$ : trace par $A$ la droite parallèle à $(MN)$, reporte sur cette droite dans le même sens que de $M$ vers $N$ la longueur $MN$.
Pour construire l'image $A'$ d'un point $A$ par une rotation de centre $O$, d'angle $\alpha$ dans un sens donné : trace le segment $[OA]$, construis à l'aide du rapporteur un angle d'amplitude $\alpha$ ayant pour sommet $O$ et pour côté $[OA)$ dans le sens demandé, puis reporte sur la nouvelle demi-droite la distance $OA' = OA$.

Exemple
On applique à un triangle équilatéral $ABC$ de côté $4\text{ cm}$ une translation. Le point $A'$ est l'image de $A$, $B'$ celle de $B$ et $C'$ celle de $C$. Quelle est la nature et le périmètre du triangle $A'B'C'$ ?

Corrigé pas à pas
1. Une translation conserve la forme des figures, les longueurs des segments et les amplitudes des angles (c'est une isométrie).
2. L'image d'un triangle équilatéral de côté $4\text{ cm}$ est donc un triangle équilatéral de même dimension : $A'B' = B'C' = A'C' = 4\text{ cm}$.
3. Le périmètre du triangle $A'B'C'$ est :
$$P = 4\text{ cm} + 4\text{ cm} + 4\text{ cm} = 12\text{ cm}$$

Erreurs fréquentes
Confondre direction et sens : la « direction » est une droite (ex. horizontale, verticale, oblique), alors que le « sens » indique le côté vers lequel on va sur cette droite (ex. vers la droite ou vers la gauche).
Se tromper de sens de rotation : le sens horlogique suit les aiguilles d'une montre (vers la droite en haut), tandis que le sens antihorlogique va dans le sens inverse.

Propriétés communes (isométries)

Les quatre transformations étudiées (symétrie axiale, symétrie centrale, translation, rotation) sont des isométries du plan (du grec iso = égal, metron = mesure). Elles déplacent les figures sans déformer leur taille ni leur forme.

Toutes ces transformations conservent :
- La longueur des segments (les distances),
- L'alignement des points (l'image d'une droite est une droite),
- Le parallélisme et la perpendicularité,
- L'amplitude des angles,
- L'aire et le périmètre des figures géométriques.

Méthode
Pour déterminer les propriétés d'une figure transformée par une isométrie : identifie les propriétés de la figure de départ (longueurs, angles, parallélisme).
Applique le principe de conservation : chaque mesure de la figure image est strictement égale à celle de la figure initiale correspondante.

Exemple
Un rectangle $ABCD$ a une aire de $24\text{ cm}^2$. On lui applique une rotation de centre $O$ et d'angle $45^\circ$. Que peut-on dire de la nature du quadrilatère image $A'B'C'D'$ et de son aire ?

Corrigé pas à pas
La rotation est une isométrie. Elle conserve la nature des polygones (angles droits, parallélisme des côtés opposés) ainsi que les aires.
Le quadrilatère $A'B'C'D'$ est donc un rectangle et son aire est exactement égale à $24\text{ cm}^2$.

Erreurs fréquentes
Croire qu'une transformation change l'aire d'une figure : les isométries ne modifient jamais l'aire ni le périmètre.
Penser qu'un angle droit n'est plus droit après une rotation ou une symétrie : la perpendicularité est toujours conservée.

Construire l'image d'un point par symétrie centrale

1. Trace au crayon fin la droite reliant le point initial $A$ au centre $O$.
2. Prolonge la demi-droite $[AO)$ au-delà du point $O$.
3. Pointe le compas sur $O$, prends l'écartement jusqu'à $A$, puis reporte cet écartement de l'autre côté de $O$ sur la demi-droite.
4. Nomme le point d'intersection $A'$ et code l'égalité de longueur $OA = OA'$.

Exemple
Le point $K$ est situé à $3\text{ cm}$ du point $O$. Décris la position de son image $K'$ par la symétrie centrale de centre $O$.

Corrigé pas à pas
Le point $K'$ est situé sur la droite $(KO)$, du côté opposé à $K$ par rapport à $O$, à une distance de $3\text{ cm}$ de $O$. Le point $O$ est le milieu du segment $[KK']$.

Construire l'image d'un point par translation

1. Repère le vecteur ou le couple de points $(A, B)$ qui définit le glissement (de $A$ vers $B$).
2. Depuis le point $M$ dont on cherche l'image, trace une droite parallèle à la droite $(AB)$ à l'aide de l'équerre et de la règle.
3. Oriente le déplacement sur cette parallèle dans le même sens que de $A$ vers $B$.
4. Reporte au compas ou à la règle graduée la distance $AB$ à partir de $M$ pour obtenir $M'$ tel que $MM' = AB$.

Exemple
Une translation fait glisser les points de $5\text{ cm}$ horizontalement vers la droite. Où se situe l'image $P'$ d'un point $P$ ?

Corrigé pas à pas
L'image $P'$ est située sur la droite horizontale passant par $P$, à $5\text{ cm}$ vers la droite de $P$.

Les 4 isométries au programme

• Symétrie axiale (axe $d$) : $d$ est la médiatrice de $[AA']$ (pliage, inverse l'orientation).
• Symétrie centrale (centre $O$) : $O$ est le milieu de $[AA']$ (demi-tour de $180^\circ$).
• Translation : glissement défini par une direction, un sens et une longueur.
• Rotation : pivotement défini par un centre $O$, un angle en degrés et un sens (horlogique ou antihorlogique).

Propriétés fondamentales conservées

• Conservation des longueurs : $A'B' = AB$.
• Conservation des angles : $\widehat{A'B'C'} = \widehat{ABC}$.
• Conservation des aires et périmètres.
• Conservation du parallélisme et de la perpendicularité.
• Conservation de l'alignement des points.