Angles et droites remarquables

Droites parallèles, perpendiculaires et angles fondamentaux

En géométrie, les droites sont des lignes infinies. Elles peuvent être positionnées de différentes manières les unes par rapport aux autres, formant ainsi des angles.

Méthode
1. Droites parallèles : Deux droites sont dites parallèles si elles ne se rencontrent jamais, même si on les prolonge à l'infini. Elles gardent toujours la même distance entre elles.
2. Droites perpendiculaires : Deux droites sont dites perpendiculaires si elles se coupent en formant un angle droit (un angle de 90°).
3. Angles adjacents : Deux angles sont adjacents s'ils ont le même sommet, un côté commun et sont situés de part et d'autre de ce côté commun.
4. Angles complémentaires : Deux angles sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90°.
5. Angles supplémentaires : Deux angles sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 180°.
6. Angles opposés par le sommet : Deux angles sont opposés par le sommet s'ils ont le même sommet et si leurs côtés sont dans le prolongement les uns des autres. Ils ont toujours la même mesure.

Exemple
Deux angles sont adjacents et complémentaires. L'un mesure 35°. Quelle est la mesure de l'autre angle ?

Corrigé pas à pas
Si deux angles sont complémentaires, la somme de leurs mesures est 90°. Si l'un mesure 35°, l'autre mesure $90° - 35° = 55°$.

Erreurs fréquentes
Confondre angles complémentaires (somme 90°) et supplémentaires (somme 180°).
Penser que tous les angles adjacents sont complémentaires ou supplémentaires. Ce n'est vrai que si les côtés non communs forment un angle droit ou un angle plat.

Angles formés par deux droites et une sécante

Lorsqu'une droite (appelée sécante) coupe deux autres droites, elle forme huit angles. Ces angles ont des relations particulières, surtout si les deux droites coupées sont parallèles.

Méthode
1. Angles alternes-internes : Ils sont situés entre les deux droites coupées, de part et d'autre de la sécante. Si les deux droites sont parallèles, ils ont la même mesure.
2. Angles alternes-externes : Ils sont situés à l'extérieur des deux droites coupées, de part et d'autre de la sécante. Si les deux droites sont parallèles, ils ont la même mesure.
3. Angles correspondants : Ils sont situés du même côté de la sécante, l'un à l'intérieur et l'autre à l'extérieur des deux droites coupées. Si les deux droites sont parallèles, ils ont la même mesure.

Exemple
Dans la figure ci-dessus (angles alternes-internes), si les droites d1 et d2 sont parallèles et que l'angle $\alpha$ mesure 70°, quelle est la mesure de l'angle $\alpha'$ ?

Corrigé pas à pas
Puisque les droites d1 et d2 sont parallèles, les angles alternes-internes $\alpha$ et $\alpha'$ ont la même mesure. Donc $\alpha' = 70°$.

Erreurs fréquentes
Confondre les positions des angles (alternes-internes, alternes-externes, correspondants). Il est crucial de bien visualiser où ils se trouvent par rapport aux droites et à la sécante.
Appliquer les propriétés d'égalité des angles (alternes-internes, alternes-externes, correspondants) même si les droites ne sont pas parallèles. Ces propriétés ne sont valables QUE si les droites sont parallèles.

Droites remarquables dans un triangle

Dans un triangle, certaines droites ont des propriétés particulières et sont appelées 'droites remarquables'. Elles sont au nombre de quatre : la médiatrice, la bissectrice, la hauteur et la médiane.

Méthode
1. La médiatrice d'un segment : C'est la droite qui passe par le milieu du segment et qui lui est perpendiculaire. Dans un triangle, la médiatrice d'un côté est la médiatrice du segment formé par ce côté. Les trois médiatrices d'un triangle se coupent en un point appelé le centre du cercle circonscrit au triangle (le cercle qui passe par les trois sommets).
2. La bissectrice d'un angle : C'est la demi-droite qui partage un angle en deux angles de même mesure. Dans un triangle, la bissectrice d'un angle est la bissectrice de l'angle formé par deux côtés. Les trois bissectrices d'un triangle se coupent en un point appelé le centre du cercle inscrit dans le triangle (le cercle tangent aux trois côtés).
3. La hauteur d'un triangle : C'est la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet (ou à son prolongement). Un triangle a trois hauteurs. Elles se coupent en un point appelé l'orthocentre du triangle.
4. La médiane d'un triangle : C'est la droite qui relie un sommet au milieu du côté opposé. Un triangle a trois médianes. Elles se coupent en un point appelé le centre de gravité du triangle.

Exemple
Dans un triangle ABC, la droite (d) passe par le sommet A et coupe le côté BC en son milieu M. Quel est le nom de cette droite (d) ?

Corrigé pas à pas
La droite (d) relie un sommet (A) au milieu du côté opposé (M est le milieu de BC). C'est donc une médiane du triangle.

Erreurs fréquentes
Confondre les définitions des quatre droites remarquables (médiatrice, bissectrice, hauteur, médiane). Chaque droite a des propriétés spécifiques (perpendicularité, passage par le milieu, partage de l'angle).
Oublier que la hauteur peut tomber en dehors du segment opposé dans un triangle obtusangle (le prolongement du côté est alors utilisé).

Identifier les types d'angles

1. 1. Observer la configuration : Regardez si les angles partagent un sommet, un côté, ou s'ils sont formés par des droites coupées par une sécante.
2. 2. Vérifier les propriétés :
3. - S'ils ont le même sommet et un côté commun, et sont de part et d'autre de ce côté : ce sont des angles adjacents.
4. - S'ils ont le même sommet et leurs côtés sont dans le prolongement : ce sont des angles opposés par le sommet.
5. - S'ils sont formés par deux droites et une sécante :
6. - Alternes-internes : entre les deux droites, de part et d'autre de la sécante.
7. - Alternes-externes : à l'extérieur des deux droites, de part et d'autre de la sécante.
8. - Correspondants : du même côté de la sécante, l'un intérieur, l'autre extérieur.

Exemple
Dans la figure ci-dessous, identifiez la relation entre les angles $\widehat{a}$ et $\widehat{b}$.

```
d1
-----/-----
/ b
/ a
-----/-----
d2
```

Corrigé pas à pas
Les angles $\widehat{a}$ et $\widehat{b}$ sont situés entre les droites d1 et d2, et de part et d'autre de la sécante. Ce sont donc des angles alternes-internes.

Calculer la mesure d'un angle en utilisant les propriétés

1. 1. Analyser la figure : Identifiez les droites parallèles (si elles existent) et la sécante.
2. 2. Identifier la relation entre les angles : Déterminez si les angles sont adjacents, opposés par le sommet, complémentaires, supplémentaires, alternes-internes, alternes-externes ou correspondants.
3. 3. Appliquer la propriété correspondante :
4. - Angles opposés par le sommet : mesures égales.
5. - Angles complémentaires : somme égale à $90°$.
6. - Angles supplémentaires : somme égale à $180°$.
7. - Si les droites sont parallèles :
8. - Angles alternes-internes : mesures égales.
9. - Angles alternes-externes : mesures égales.
10. - Angles correspondants : mesures égales.

Exemple
Dans la figure ci-dessus, les droites d1 et d2 sont parallèles. L'angle marqué 65° et l'angle $x$ sont alternes-internes. Quelle est la mesure de l'angle $x$ ?

Corrigé pas à pas
Puisque les droites d1 et d2 sont parallèles, les angles alternes-internes ont la même mesure. Donc, l'angle $x$ mesure $65°$.

Construire la médiatrice d'un segment

1. 1. Tracer le segment : Dessinez le segment dont vous voulez construire la médiatrice.
2. 2. Utiliser le compas : Ouvrez le compas à une longueur supérieure à la moitié du segment. Placez la pointe du compas sur une extrémité du segment et tracez un arc de cercle.
3. 3. Répéter de l'autre côté : Sans changer l'ouverture du compas, placez la pointe sur l'autre extrémité du segment et tracez un deuxième arc de cercle qui coupe le premier en deux points.
4. 4. Tracer la médiatrice : Reliez les deux points d'intersection des arcs de cercle. Cette droite est la médiatrice du segment. Elle passe par le milieu du segment et lui est perpendiculaire.

Exemple
Construisez la médiatrice d'un segment [CD] de 8 cm de long.

Corrigé pas à pas
1. Tracez le segment [CD] de 8 cm.
2. Ouvrez votre compas à plus de 4 cm (par exemple 5 cm).
3. Placez la pointe du compas sur C et tracez un arc de cercle.
4. Placez la pointe du compas sur D (avec la même ouverture) et tracez un deuxième arc qui coupe le premier en deux points, appelons-les P et Q.
5. Tracez la droite passant par P et Q. Cette droite est la médiatrice de [CD].

Angles fondamentaux

• Complémentaires : Somme $= 90°$
• Supplémentaires : Somme $= 180°$
• Opposés par le sommet : Mesures égales

Angles avec droites parallèles et sécante

• Si d1 // d2 et s est une sécante :
• Alternes-internes : Mesures égales
• Alternes-externes : Mesures égales
• Correspondants : Mesures égales

Droites remarquables du triangle

• Médiatrice : Perpendiculaire à un côté et passe par son milieu.
• Bissectrice : Partage un angle en deux angles égaux.
• Hauteur : Passe par un sommet et est perpendiculaire au côté opposé.
• Médiane : Relie un sommet au milieu du côté opposé.