Périmètres, aires et volumes

Le périmètre d'une figure plane

Le périmètre d'une figure plane est la longueur de son contour. Il s'exprime en unités de longueur (millimètre (mm), centimètre (cm), mètre (m), kilomètre (km), etc.).

Méthode
Identifier la figure dont on veut calculer le périmètre.
Mesurer les longueurs de tous ses côtés (pour un polygone) ou identifier le rayon/diamètre (pour un cercle).
Appliquer la formule appropriée ou additionner toutes les longueurs des côtés.
Exprimer le résultat avec l'unité de longueur correcte.

Exemple
Calcule le périmètre d'un rectangle de longueur $L = 8\text{ cm}$ et de largeur $l = 3\text{ cm}$. Calcule aussi le périmètre d'un cercle de rayon $r = 5\text{ cm}$.

Corrigé pas à pas
Pour le rectangle:
Le périmètre $P$ d'un rectangle est donné par la formule $P = 2 \times (L + l)$.
$P = 2 \times (8\text{ cm} + 3\text{ cm})$
$P = 2 \times 11\text{ cm}$
$P = 22\text{ cm}$
Le périmètre du rectangle est $22\text{ cm}$.

Pour le cercle:
Le périmètre (ou circonférence) $C$ d'un cercle est donné par la formule $C = 2 \times \pi \times r$ ou $C = \pi \times d$ (où $d$ est le diamètre).
$C = 2 \times \pi \times 5\text{ cm}$
$C = 10\pi\text{ cm}$
En utilisant une valeur approchée de $\pi \approx 3,14$, $C \approx 10 \times 3,14 = 31,4\text{ cm}$.
Le périmètre du cercle est environ $31,4\text{ cm}$.

Erreurs fréquentes
Confondre le périmètre (longueur du contour) avec l'aire (surface).
Oublier d'additionner tous les côtés d'un polygone.
Utiliser le rayon au lieu du diamètre (ou inversement) dans la formule du cercle.
Ne pas exprimer le résultat avec l'unité de longueur appropriée.

L'aire d'une figure plane

L'aire d'une figure plane est la mesure de sa surface. Elle s'exprime en unités d'aire (millimètre carré (mm²), centimètre carré (cm²), mètre carré (m²), kilomètre carré (km²), are (a), hectare (ha), etc.).

Méthode
Identifier la figure dont on veut calculer l'aire.
Mesurer les dimensions nécessaires (longueur, largeur, base, hauteur, rayon).
Appliquer la formule d'aire appropriée.
Exprimer le résultat avec l'unité d'aire correcte.

Exemple
Calcule l'aire d'un rectangle de longueur $L = 8\text{ cm}$ et de largeur $l = 3\text{ cm}$. Calcule aussi l'aire d'un disque de rayon $r = 5\text{ cm}$.

Corrigé pas à pas
Pour le rectangle:
L'aire $A$ d'un rectangle est donnée par la formule $A = L \times l$.
$A = 8\text{ cm} \times 3\text{ cm}$
$A = 24\text{ cm}^2$
L'aire du rectangle est $24\text{ cm}^2$.

Pour le disque:
L'aire $A$ d'un disque est donnée par la formule $A = \pi \times r^2$.
$A = \pi \times (5\text{ cm})^2$
$A = \pi \times 25\text{ cm}^2$
$A = 25\pi\text{ cm}^2$
En utilisant une valeur approchée de $\pi \approx 3,14$, $A \approx 25 \times 3,14 = 78,5\text{ cm}^2$.
L'aire du disque est environ $78,5\text{ cm}^2$.

Erreurs fréquentes
Confondre l'aire avec le périmètre.
Utiliser des unités de longueur au lieu d'unités d'aire.
Oublier de diviser par 2 pour l'aire d'un triangle ou d'un trapèze.
Ne pas mettre les dimensions dans la même unité avant le calcul.

Le volume d'un solide

Le volume d'un solide est la mesure de l'espace qu'il occupe. Il s'exprime en unités de volume (millimètre cube (mm³), centimètre cube (cm³), mètre cube (m³), kilomètre cube (km³)). Des unités usuelles comme le litre (L) et le millilitre (mL) sont aussi utilisées, sachant que $1\text{ L} = 1\text{ dm}^3$ et $1\text{ mL} = 1\text{ cm}^3$.

Méthode
Identifier le solide dont on veut calculer le volume.
Mesurer les dimensions nécessaires (longueur, largeur, hauteur, rayon, aire de la base).
Appliquer la formule de volume appropriée.
Exprimer le résultat avec l'unité de volume correcte.

Exemple
Calcule le volume d'un pavé droit de longueur $L = 10\text{ cm}$, de largeur $l = 4\text{ cm}$ et de hauteur $h = 5\text{ cm}$. Calcule aussi le volume d'un cylindre de rayon de base $r = 3\text{ cm}$ et de hauteur $h = 10\text{ cm}$.

Corrigé pas à pas
Pour le pavé droit:
Le volume $V$ d'un pavé droit est donné par la formule $V = L \times l \times h$.
$V = 10\text{ cm} \times 4\text{ cm} \times 5\text{ cm}$
$V = 200\text{ cm}^3$
Le volume du pavé droit est $200\text{ cm}^3$.

Pour le cylindre:
Le volume $V$ d'un cylindre est donné par la formule $V = \text{Aire de la base} \times h = \pi \times r^2 \times h$.
$V = \pi \times (3\text{ cm})^2 \times 10\text{ cm}$
$V = \pi \times 9\text{ cm}^2 \times 10\text{ cm}$
$V = 90\pi\text{ cm}^3$
En utilisant une valeur approchée de $\pi \approx 3,14$, $V \approx 90 \times 3,14 = 282,6\text{ cm}^3$.
Le volume du cylindre est environ $282,6\text{ cm}^3$.

Erreurs fréquentes
Confondre le volume avec l'aire ou le périmètre.
Utiliser des unités d'aire ou de longueur au lieu d'unités de volume.
Ne pas convertir toutes les dimensions dans la même unité avant de calculer.
Oublier que $1\text{ L} = 1\text{ dm}^3$ et $1\text{ mL} = 1\text{ cm}^3$.

Convertir les unités de longueur, d'aire et de volume

1. Comprendre les relations entre les unités:
2. Pour les longueurs: Chaque unité est 10 fois plus grande que la suivante (ex: $1\text{ m} = 10\text{ dm} = 100\text{ cm}$). Pour passer à l'unité inférieure, on multiplie par 10 ; pour passer à l'unité supérieure, on divise par 10.
3. Pour les aires: Chaque unité est 100 fois plus grande que la suivante (ex: $1\text{ m}^2 = 100\text{ dm}^2 = 10000\text{ cm}^2$). Pour passer à l'unité inférieure, on multiplie par 100 ; pour passer à l'unité supérieure, on divise par 100.
4. Pour les volumes: Chaque unité est 1000 fois plus grande que la suivante (ex: $1\text{ m}^3 = 1000\text{ dm}^3 = 1000000\text{ cm}^3$). Pour passer à l'unité inférieure, on multiplie par 1000 ; pour passer à l'unité supérieure, on divise par 1000.
5. Identifier l'unité de départ et l'unité d'arrivée.
6. Déterminer le facteur de conversion: Compter le nombre de "sauts" entre les unités et appliquer le multiplicateur (10, 100 ou 1000) pour chaque saut.
7. Effectuer la multiplication ou la division: Déplacer la virgule du nombre vers la droite (multiplication) ou vers la gauche (division) d'autant de rangs que de zéros dans le facteur de conversion.
8. Rappels spécifiques pour le volume: $1\text{ L} = 1\text{ dm}^3$ et $1\text{ mL} = 1\text{ cm}^3$.

Exemple
Convertis $2,5\text{ m}$ en centimètres (cm), $0,3\text{ m}^2$ en centimètres carrés (cm²) et $1500\text{ cm}^3$ en litres (L).

Corrigé pas à pas
De mètres en centimètres: Il y a deux sauts de 10 ($m \to dm \to cm$). On multiplie par $10 \times 10 = 100$.
$2,5\text{ m} = 2,5 \times 100\text{ cm} = 250\text{ cm}$.

De mètres carrés en centimètres carrés: Il y a deux sauts de 100 ($m^2 \to dm^2 \to cm^2$). On multiplie par $100 \times 100 = 10000$.
$0,3\text{ m}^2 = 0,3 \times 10000\text{ cm}^2 = 3000\text{ cm}^2$.

De centimètres cubes en litres: On sait que $1\text{ cm}^3 = 1\text{ mL}$. Donc $1500\text{ cm}^3 = 1500\text{ mL}$.
Pour convertir les millilitres en litres, on divise par 1000 (car $1\text{ L} = 1000\text{ mL}$).
$1500\text{ mL} = \frac{1500}{1000}\text{ L} = 1,5\text{ L}$.
Donc $1500\text{ cm}^3 = 1,5\text{ L}$.

Périmètres des figures planes

• Carré (côté $c$): $P = 4 \times c$
• Rectangle (longueur $L$, largeur $l$): $P = 2 \times (L + l)$
• Triangle (côtés $a, b, c$): $P = a + b + c$
• Cercle (rayon $r$, diamètre $d$): $C = 2 \times \pi \times r = \pi \times d$

Aires des figures planes

• Carré (côté $c$): $A = c^2$
• Rectangle (longueur $L$, largeur $l$): $A = L \times l$
• Triangle (base $b$, hauteur $h$): $A = \frac{b \times h}{2}$
• Parallélogramme (base $b$, hauteur $h$): $A = b \times h$
• Trapèze (grande base $B$, petite base $b$, hauteur $h$): $A = \frac{(B + b) \times h}{2}$
• Disque (rayon $r$): $A = \pi \times r^2$

Volumes des solides usuels

• Cube (arête $c$): $V = c^3$
• Pavé droit (longueur $L$, largeur $l$, hauteur $h$): $V = L \times l \times h$
• Prisme droit (aire de la base $A_b$, hauteur $h$): $V = A_b \times h$
• Cylindre (rayon de la base $r$, hauteur $h$): $V = \pi \times r^2 \times h$
• Conversions: $1\text{ L} = 1\text{ dm}^3$ et $1\text{ mL} = 1\text{ cm}^3$