Ondes mécaniques, électromagnétiques et lois de l'optique

Caractéristiques des ondes périodiques

Une onde est la propagation d'une perturbation transportant de l'énergie sans transport global de matière. Une onde est dite mécanique si elle nécessite un milieu matériel pour se propager (ex. son, houle), ou électromagnétique si elle peut également se propager dans le vide (ex. lumière, ondes radio). Une onde périodique présente une double périodicité : temporelle (caractérisée par la période $T$ en secondes et la fréquence $f = \frac{1}{T}$ en hertz) et spatiale (caractérisée par la longueur d'onde $\lambda$ en mètres). La célérité $v$ de propagation relie ces deux grandeurs par la relation fondamentale : $$v = \frac{\lambda}{T} = \lambda \cdot f$$

Méthode
Identifier si la propagation nécessite un support matériel pour distinguer onde mécanique et onde électromagnétique.
Relever les grandeurs temporelles ($T$ en $\text{s}$, $f$ en $\text{Hz}$) ou spatiales ($\lambda$ en $\text{m}$).
Appliquer la relation $v = \lambda \cdot f$ ou isoler la grandeur recherchée en vérifiant la cohérence des unités SI.

Exemple
Un émetteur sonore sous-marin émet une onde ultrasonore de fréquence $f = 40\text{ kHz}$. La célérité du son dans l'eau de mer est de $v = 1500\text{ m/s}$. Calcule la longueur d'onde $\lambda$ de cette onde dans l'eau.

Corrigé pas à pas
On commence par convertir la fréquence en unité SI : $f = 40\text{ kHz} = 40\times 10^3\text{ Hz} = 4{,}0\times 10^4\text{ Hz}$.
On utilise la relation reliant la célérité, la longueur d'onde et la fréquence :
$$v = \lambda \cdot f \implies \lambda = \frac{v}{f}$$
On effectue le calcul numérique :
$$\lambda = \frac{1500}{4{,}0\times 10^4} = 0{,}0375\text{ m} = 3{,}75\text{ cm}$$
La longueur d'onde de ces ultrasons dans l'eau de mer est donc de $3{,}75\text{ cm}$.

Erreurs fréquentes
Confondre la vitesse de déplacement du milieu (oscillation locale) avec la célérité de l'onde (vitesse de propagation du signal).
Oublier de convertir les fréquences exprimées en kilohertz (kHz) ou mégahertz (MHz) en hertz (Hz) avant d'appliquer la formule.
Croire que les ondes sonores peuvent se propager dans le vide : le son est une onde mécanique nécessitant obligatoirement un milieu matériel.

Réfraction et lois de Snell-Descartes

Lorsqu'un rayon lumineux traverse la surface de séparation (dioptre) entre deux milieux transparents d'indices de réfraction différents $n_1$ et $n_2$, sa direction de propagation est modifiée : c'est le phénomène de réfraction. L'indice absolu d'un milieu est défini par $n = \frac{c}{v}$ (où $c$ est la vitesse de la lumière dans le vide et $v$ sa vitesse dans le milieu, avec $n \ge 1$).
Les lois de Snell-Descartes s'énoncent ainsi :
1. Le rayon incident, le rayon réfléchi, le rayon réfracté et la normale au dioptre au point d'incidence sont situés dans un même plan appelé plan d'incidence.
2. L'angle de réflexion $r$ est égal à l'angle d'incidence $i_1$ : $r = i_1$.
3. Les angles d'incidence $i_1$ et de réfraction $i_2$, mesurés par rapport à la normale, vérifient la relation : $$n_1 \cdot \sin(i_1) = n_2 \cdot \sin(i_2)$$

Méthode
Tracer la normale (droite perpendiculaire à la surface de séparation au point d'impact du rayon).
Identifier précisément les angles d'incidence $i_1$ et de réfraction $i_2$ entre les rayons et la normale (et JAMAIS par rapport à la surface).
Appliquer la loi $n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)$ en vérifiant que la calculatrice est configurée en degrés.
Si le rayon passe d'un milieu plus réfringent vers un milieu moins réfringent ($n_1 > n_2$), calculer l'angle limite de réfraction : $\sin(i_{\text{lim}}) = \frac{n_2}{n_1}$. Si $i_1 > i_{\text{lim}}$, il y a réflexion totale.

Exemple
Un rayon lumineux passe de l'air ($n_1 = 1{,}00$) dans du verre crown ($n_2 = 1{,}52$) avec un angle d'incidence $i_1 = 45^\circ$. Calcule l'angle de réfraction $i_2$ dans le verre.

Corrigé pas à pas
On applique la troisième loi de Snell-Descartes :
$$n_1 \cdot \sin(i_1) = n_2 \cdot \sin(i_2)$$
On isole $\sin(i_2)$ :
$$\sin(i_2) = \frac{n_1 \cdot \sin(i_1)}{n_2} = \frac{1{,}00 \cdot \sin(45^\circ)}{1{,}52}$$
Comme $\sin(45^\circ) \approx 0{,}7071$ :
$$\sin(i_2) = \frac{0{,}7071}{1{,}52} \approx 0{,}4652$$
On détermine l'angle $i_2$ par la fonction arc sinus ($\arcsin$ ou $\sin^{-1}$) :
$$i_2 = \arcsin(0{,}4652) \approx 27{,}7^\circ$$
Le rayon réfracté fait un angle d'environ $27{,}7^\circ$ avec la normale dans le verre.

Erreurs fréquentes
Mesurer les angles par rapport à la surface du dioptre au lieu de les mesurer par rapport à la normale perpendiculaire.
Oublier de vérifier le mode de la calculatrice (degrés au lieu de radians).
Calculer un angle de réfraction imaginaire lorsque $n_1 > n_2$ et que $\sin(i_2) > 1$, sans identifier qu'il s'agit d'une réflexion totale.

Déterminer l'angle de réfraction ou l'indice d'un milieu par la loi de Snell-Descartes

1. Repérer sur un schéma les deux milieux et leurs indices de réfraction respectifs ($n_1$ pour le milieu d'incidence, $n_2$ pour le milieu de réfraction).
2. Tracer la normale à l'interface et repérer l'angle d'incidence $i_1$ entre le rayon incident et la normale.
3. Écrire la relation $n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)$ et isoler le terme inconnu : $\sin(i_2) = \frac{n_1 \sin(i_1)}{n_2}$ ou $n_2 = \frac{n_1 \sin(i_1)}{\sin(i_2)}$.
4. Effectuer le calcul numérique et déterminer l'angle avec la touche $\sin^{-1}$ ou $\arcsin$ de la calculatrice en mode degrés.

Exemple
Un rayon lumineux se propageant dans l'air ($n_1 = 1{,}00$) pénètre dans un bloc de matière transparente inconnue sous un angle d'incidence $i_1 = 60{,}0^\circ$. L'angle de réfraction mesuré dans le bloc est $i_2 = 35{,}0^\circ$. Calcule l'indice de réfraction $n_2$ de ce matériau.

Corrigé pas à pas
On applique la loi de Snell-Descartes pour la réfraction :
$$n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)$$
On isole l'indice inconnu $n_2$ :
$$n_2 = \frac{n_1 \sin(i_1)}{\sin(i_2)}$$
On applique numériquement :
$$n_2 = \frac{1{,}00 \times \sin(60{,}0^\circ)}{\sin(35{,}0^\circ)} = \frac{0{,}8660}{0{,}5736} \approx 1{,}51$$
L'indice de réfraction du matériau transparent est donc de $1{,}51$.

Calculer la célérité, la période ou la longueur d'onde d'un signal périodique

1. Identifier les grandeurs données dans l'énoncé et repérer celle à calculer parmi $v$ (célérité), $\lambda$ (longueur d'onde), $T$ (période) et $f$ (fréquence).
2. Si nécessaire, convertir la période $T$ en secondes ($\text{s}$), la fréquence $f$ en hertz ($\text{Hz}$) et les distances en mètres ($\text{m}$).
3. Utiliser la relation adaptée : $v = \lambda \cdot f$ ou $v = \frac{\lambda}{T}$.
4. Exprimer le résultat final avec l'unité correcte et le nombre approprié de chiffres significatifs.

Exemple
À la surface de l'eau, une onde se propage à la vitesse de $v = 1{,}2\text{ m/s}$. Deux crêtes consécutives sont distantes de $\lambda = 30\text{ cm}$. Calcule la période $T$ et la fréquence $f$ des oscillations de l'eau.

Corrigé pas à pas
1. Conversion de la longueur d'onde en mètres :
$$\lambda = 30\text{ cm} = 0{,}30\text{ m}$$
2. Calcul de la période $T$ à partir de $v = \frac{\lambda}{T}$ :
$$T = \frac{\lambda}{v} = \frac{0{,}30\text{ m}}{1{,}2\text{ m/s}} = 0{,}25\text{ s}$$
3. Calcul de la fréquence $f$ :
$$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{0{,}25\text{ s}} = 4{,}0\text{ Hz}$$
La période d'oscillation est de $0{,}25\text{ s}$ et la fréquence est de $4{,}0\text{ Hz}$.

Grandeurs caractéristiques des ondes

• Période et fréquence : $f = \frac{1}{T}$ ($f$ en $\text{Hz}$, $T$ en $\text{s}$).
• Relation célérité, longueur d'onde et fréquence : $v = \frac{\lambda}{T} = \lambda \cdot f$ ($v$ en $\text{m/s}$, $\lambda$ en $\text{m}$, $f$ en $\text{Hz}$).
• Vitesse de la lumière dans le vide : $c \approx 3{,}00\times 10^8\text{ m/s}$.

Lois de l'optique géométrique (Snell-Descartes)

• Indice de réfraction absolu : $n = \frac{c}{v} \ge 1$.
• Loi de la réflexion : angle de réflexion = angle d'incidence ($r = i_1$).
• Loi de la réfraction : $n_1 \cdot \sin(i_1) = n_2 \cdot \sin(i_2)$ (angles mesurés par rapport à la normale).
• Angle limite de réflexion totale (si $n_1 > n_2$) : $\sin(i_{\text{lim}}) = \frac{n_2}{n_1}$.