Suites numériques

Définition et modes de génération d'une suite numérique

Une suite numérique est une fonction dont l'ensemble de départ est une partie de l'ensemble des nombres naturels $\mathbb{N}$ (généralement $\mathbb{N}$ ou $\mathbb{N}^*$) et dont l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$. Chaque valeur de la suite est appelée un terme, noté $u_n$ (ou $a_n$, $x_n$, etc.), où $n$ est l'indice du terme. L'indice $n$ indique la position du terme dans la suite. Une suite est donc une succession ordonnée de nombres.

Méthode
Identifier l'ensemble des indices (souvent $n \in \mathbb{N}$ pour $u_0, u_1, \dots$ ou $n \in \mathbb{N}^*$ pour $u_1, u_2, \dots$).
Comprendre le mode de génération de la suite pour calculer ses termes.

Exemple
Considérons la suite $(u_n)$ définie pour $n \in \mathbb{N}$ par $u_n = 2n + 3$. Calculez les trois premiers termes de cette suite.

Corrigé pas à pas
Puisque la suite est définie pour $n \in \mathbb{N}$, les trois premiers termes correspondent aux indices $n=0$, $n=1$ et $n=2$.
Pour $n=0$: $u_0 = 2(0) + 3 = 3$.
Pour $n=1$: $u_1 = 2(1) + 3 = 5$.
Pour $n=2$: $u_2 = 2(2) + 3 = 7$.
Les trois premiers termes de la suite sont 3, 5 et 7.

Erreurs fréquentes
Confondre l'indice $n$ avec le terme $u_n$. L'indice est un entier qui numérote la position, tandis que le terme est la valeur de la suite à cette position.
Oublier l'indice de départ de la suite. Une suite peut commencer à $u_0$, $u_1$, ou tout autre indice spécifié. Cela affecte le nombre de termes et les formules de somme.

Suites arithmétiques

Une suite numérique $(u_n)$ est dite arithmétique si la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette constante est appelée la raison de la suite, notée $r$. Autrement dit, pour tout indice $n$ pour lequel les termes sont définis, nous avons $u_{n+1} - u_n = r$, ou $u_{n+1} = u_n + r$.

Méthode
Vérifier si la différence entre des termes consécutifs est constante pour identifier une suite arithmétique.
Utiliser la formule du terme général pour calculer un terme éloigné ou pour exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Appliquer la formule de la somme des termes pour calculer la somme d'une série arithmétique.

Exemple
Soit la suite arithmétique $(u_n)$ de premier terme $u_0 = 5$ et de raison $r = 3$. Calculez $u_4$ et la somme des 5 premiers termes (de $u_0$ à $u_4$).

Corrigé pas à pas
1. Calcul de $u_4$:
La formule du terme général d'une suite arithmétique est $u_n = u_p + (n-p)r$. Ici, nous prenons $p=0$, donc $u_n = u_0 + nr$.
Pour $n=4$: $u_4 = u_0 + 4r = 5 + 4(3) = 5 + 12 = 17$.

2. Calcul de la somme des 5 premiers termes:
Les 5 premiers termes sont $u_0, u_1, u_2, u_3, u_4$. Le nombre de termes est $N+1 = 5$.
La formule de la somme est $S_{N+1} = (N+1) \frac{u_0 + u_N}{2}$. Ici $N=4$.
$S_5 = 5 \frac{u_0 + u_4}{2} = 5 \frac{5 + 17}{2} = 5 \frac{22}{2} = 5 \times 11 = 55$.
La somme des 5 premiers termes est 55.

Erreurs fréquentes
Erreur dans le calcul du nombre de termes pour la somme. Si la somme va de $u_p$ à $u_k$, le nombre de termes est $k-p+1$. Par exemple, de $u_0$ à $u_N$, il y a $N-0+1 = N+1$ termes.
Confondre la raison $r$ avec un facteur multiplicatif. La raison $r$ est une différence constante.

Suites géométriques

Une suite numérique $(u_n)$ est dite géométrique si le rapport entre deux termes consécutifs est constant. Cette constante est appelée la raison de la suite, notée $q$. Autrement dit, pour tout indice $n$ pour lequel les termes sont définis, nous avons $\frac{u_{n+1}}{u_n} = q$ (pour $u_n \neq 0$), ou $u_{n+1} = u_n \times q$.

Méthode
Vérifier si le rapport entre des termes consécutifs est constant pour identifier une suite géométrique.
Utiliser la formule du terme général pour calculer un terme éloigné ou pour exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Appliquer la formule de la somme des termes pour calculer la somme d'une série géométrique (attention au cas $q=1$).
S'assurer que la raison $q$ n'est pas égale à 1 avant d'utiliser la formule de la somme avec $q \neq 1$.

Exemple
Soit la suite géométrique $(u_n)$ de premier terme $u_0 = 2$ et de raison $q = 3$. Calculez $u_3$ et la somme des 4 premiers termes (de $u_0$ à $u_3$).

Corrigé pas à pas
1. Calcul de $u_3$:
La formule du terme général d'une suite géométrique est $u_n = u_p \times q^{n-p}$. Ici, nous prenons $p=0$, donc $u_n = u_0 \times q^n$.
Pour $n=3$: $u_3 = u_0 \times q^3 = 2 \times 3^3 = 2 \times 27 = 54$.

2. Calcul de la somme des 4 premiers termes:
Les 4 premiers termes sont $u_0, u_1, u_2, u_3$. Le nombre de termes est $N+1 = 4$.
La formule de la somme est $S_{N+1} = u_0 \frac{1-q^{N+1}}{1-q}$ (pour $q \neq 1$). Ici $N=3$.
$S_4 = u_0 \frac{1-q^4}{1-q} = 2 \frac{1-3^4}{1-3} = 2 \frac{1-81}{-2} = 2 \frac{-80}{-2} = 2 \times 40 = 80$.
La somme des 4 premiers termes est 80.

Erreurs fréquentes
Oublier que la formule de la somme des termes géométriques est différente si la raison $q=1$. Dans ce cas, la somme de $k$ termes est $k \times u_0$.
Erreur dans l'exposant de la raison $q$ dans la formule du terme général ou de la somme. L'exposant correspond au nombre de 'sauts' de raison.
Confondre la raison $q$ avec une différence additive. La raison $q$ est un facteur multiplicatif constant.

Déterminer la nature d'une suite (arithmétique ou géométrique)

1. Calculer les premiers termes de la suite: Écrivez au moins les quatre premiers termes ($u_0, u_1, u_2, u_3$ ou $u_1, u_2, u_3, u_4$).
2. Tester si la suite est arithmétique: Calculez les différences entre termes consécutifs: $u_1-u_0$, $u_2-u_1$, $u_3-u_2$, etc. Si toutes ces différences sont égales, la suite est arithmétique et cette valeur commune est la raison $r$. Si les différences ne sont pas constantes, la suite n'est pas arithmétique.
3. Tester si la suite est géométrique: Si elle n'est pas arithmétique (ou même si elle l'est, car une suite peut être les deux, par exemple une suite constante), calculez les rapports entre termes consécutifs: $\frac{u_1}{u_0}$, $\frac{u_2}{u_1}$, $\frac{u_3}{u_2}$, etc. (en s'assurant que les dénominateurs ne sont pas nuls). Si tous ces rapports sont égaux, la suite est géométrique et cette valeur commune est la raison $q$. Si les rapports ne sont pas constants, la suite n'est pas géométrique.

Exemple
Déterminez la nature de la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 3n - 1$ pour $n \in \mathbb{N}$.

Corrigé pas à pas
1. Calcul des premiers termes:
$u_0 = 3(0) - 1 = -1$
$u_1 = 3(1) - 1 = 2$
$u_2 = 3(2) - 1 = 5$
$u_3 = 3(3) - 1 = 8$

2. Test arithmétique:
$u_1 - u_0 = 2 - (-1) = 3$
$u_2 - u_1 = 5 - 2 = 3$
$u_3 - u_2 = 8 - 5 = 3$
Les différences sont constantes et égales à 3. La suite $(u_n)$ est donc une suite arithmétique de raison $r=3$.

3. Test géométrique (facultatif ici, car déjà arithmétique):
$\frac{u_1}{u_0} = \frac{2}{-1} = -2$
$\frac{u_2}{u_1} = \frac{5}{2} = 2,5$
Les rapports ne sont pas constants. La suite n'est pas géométrique.

Calculer le terme général d'une suite arithmétique ou géométrique

1. Identifier le type de suite: Déterminez si la suite est arithmétique ou géométrique (voir fiche précédente).
2. Identifier le premier terme et la raison: Notez le premier terme donné ($u_0$ ou $u_1$) et la raison ($r$ pour arithmétique, $q$ pour géométrique).
3. Appliquer la formule appropriée:
   • Pour une suite arithmétique: $u_n = u_p + (n-p)r$. Si le premier terme est $u_0$, utilisez $u_n = u_0 + nr$. Si le premier terme est $u_1$, utilisez $u_n = u_1 + (n-1)r$.
   • Pour une suite géométrique: $u_n = u_p \times q^{n-p}$. Si le premier terme est $u_0$, utilisez $u_n = u_0 \times q^n$. Si le premier terme est $u_1$, utilisez $u_n = u_1 \times q^{n-1}$.

Exemple
Une suite arithmétique $(w_n)$ a $w_2 = 10$ et $w_5 = 22$. Déterminez sa raison $r$ et son terme général $w_n$ en fonction de $n$ (en supposant $w_0$ comme premier terme).

Corrigé pas à pas
1. Déterminer la raison $r$:
Nous savons que $w_5 = w_2 + (5-2)r$, donc $22 = 10 + 3r$.
$12 = 3r \implies r = 4$.

2. Déterminer $w_0$:
Nous pouvons utiliser $w_2 = w_0 + 2r$.
$10 = w_0 + 2(4) \implies 10 = w_0 + 8 \implies w_0 = 2$.

3. Écrire le terme général:
Le terme général est $w_n = w_0 + nr$.
$w_n = 2 + 4n$.

Calculer la somme des termes d'une suite arithmétique ou géométrique

1. Identifier le type de suite: Déterminez si la suite est arithmétique ou géométrique.
2. Identifier le premier terme, le dernier terme et le nombre de termes:
   • Pour une somme de $u_p$ à $u_k$, le premier terme est $u_p$, le dernier terme est $u_k$, et le nombre de termes est $k-p+1$.
3. Appliquer la formule appropriée:
   • Pour une suite arithmétique: $S = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$.
   • Pour une suite géométrique (avec $q \neq 1$): $S = (\text{premier terme}) \times \frac{1 - q^{\text{nombre de termes}}}{1 - q}$.
   • Pour une suite géométrique (avec $q = 1$): $S = (\text{nombre de termes}) \times (\text{premier terme})$.
4. Effectuer les calculs: Remplacez les valeurs dans la formule et calculez la somme.

Exemple
Calculez la somme $S = 4 + 8 + 12 + \dots + 60$.

Corrigé pas à pas
1. Identifier le type de suite:
Les termes sont $4, 8, 12, \dots$. La différence entre termes consécutifs est $8-4=4$, $12-8=4$. C'est une suite arithmétique de raison $r=4$.
Le premier terme est $u_1 = 4$. Le dernier terme est $u_k = 60$.

2. Déterminer le nombre de termes:
Le terme général est $u_n = u_1 + (n-1)r = 4 + (n-1)4 = 4n$. (Ou $u_n = 4n$ si on commence à $n=1$).
Pour trouver l'indice $k$ du dernier terme: $4k = 60 \implies k = 15$.
Il y a 15 termes dans cette somme.

3. Appliquer la formule de la somme arithmétique:
$S = (\text{nombre de termes}) \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$
$S = 15 \times \frac{4 + 60}{2} = 15 \times \frac{64}{2} = 15 \times 32 = 480$.
La somme est 480.

Définitions et Notations

• Une suite numérique est une fonction $u: \mathbb{N} \to \mathbb{R}$, notée $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ou $(u_n)$.
• Terme général (explicite): $u_n = f(n)$.
• Définition par récurrence: $u_{n+1} = g(u_n)$ avec un premier terme $u_0$ ou $u_1$.

Suites Arithmétiques

• Définition: $u_{n+1} = u_n + r$ (où $r$ est la raison).
• Terme général: $u_n = u_p + (n-p)r$. Cas particuliers: $u_n = u_0 + nr$ ou $u_n = u_1 + (n-1)r$.
• Somme de $k$ termes consécutifs: $S_k = k \times \frac{\text{premier terme} + \text{dernier terme}}{2}$.

Suites Géométriques

• Définition: $u_{n+1} = u_n \times q$ (où $q$ est la raison, $q \neq 0$).
• Terme général: $u_n = u_p \times q^{n-p}$. Cas particuliers: $u_n = u_0 \times q^n$ ou $u_n = u_1 \times q^{n-1}$.
• Somme de $k$ termes consécutifs (si $q \neq 1$): $S_k = (\text{premier terme}) \times \frac{1 - q^k}{1 - q}$.
• Somme de $k$ termes consécutifs (si $q = 1$): $S_k = k \times (\text{premier terme})$.