Primitives et calcul intégral

Notion de primitive d'une fonction

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que, pour tout réel $x \in I$ : $$F'(x) = f(x)$$ Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors l'ensemble des primitives de $f$ sur $I$ est donné par les fonctions de la forme $x \mapsto F(x) + C$, où $C \in \mathbb{R}$ est une constante réelle arbitraire.

Méthode
Identifier la forme de la fonction $f(x)$ en se référant aux dérivées usuelles lues « à l'envers ».
Déterminer une primitive élémentaire $F(x)$ en utilisant les formules usuelles (par exemple, une primitive de $x^n$ est $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ pour tout $n \in \mathbb{R} \setminus \{-1\}$).
Ajouter la constante réelle $C$ pour exprimer l'ensemble de toutes les primitives.
Si une condition initiale est imposée (du type $F(x_0) = y_0$), substituer $x_0$ pour résoudre l'équation d'inconnue $C$ et trouver la primitive unique.

Exemple
Déterminer la primitive $F$ de la fonction $f(x) = 3x^2 - 4x + 5$ sur $\mathbb{R}$ vérifiant la condition initiale $F(1) = 2$.

Corrigé pas à pas
1. Déterminons d'abord l'ensemble des primitives de $f$ sur $\mathbb{R}$ :
$$F(x) = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 5x + C = x^3 - 2x^2 + 5x + C \quad (C \in \mathbb{R})$$
2. Utilisons la condition initiale $F(1) = 2$ pour déterminer la constante $C$ :
$$F(1) = (1)^3 - 2(1)^2 + 5(1) + C = 1 - 2 + 5 + C = 4 + C$$
On pose $4 + C = 2$, d'où $C = 2 - 4 = -2$.
3. La primitive recherchée est donc unique et s'écrit :
$$F(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 2$$

Erreurs fréquentes
Oublier d'ajouter la constante réelle $C$ lors de la recherche de l'ensemble des primitives.
Appliquer la formule $\frac{x^{n+1}}{n+1}$ au cas $n = -1$ (une primitive de $\frac{1}{x}$ sur $]0, +\infty[$ est $\ln(x)$, et non $\frac{x^0}{0}$ qui n'a aucun sens).
Croire qu'une primitive d'un produit $u(x) \cdot v(x)$ est le produit des primitives ; l'intégration ne distribue pas sur la multiplication.

Intégrale définie et calcul d'aires

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$ et $F$ une primitive quelconque de $f$ sur $[a, b]$. L'intégrale définie de $f$ entre $a$ et $b$ est le nombre réel noté $\int_a^b f(x)\,dx$, défini par le théorème fondamental de l'analyse (formule de Newton-Leibniz) : $$\int_a^b f(x)\,dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$$ Géométriquement, si $f(x) \ge 0$ pour tout $x \in [a, b]$, $\int_a^b f(x)\,dx$ représente la mesure de l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations $x = a$ et $x = b$.

Méthode
Identifier les bornes d'intégration $a$ et $b$, ainsi que la fonction intégrande $f(x)$.
Rechercher une primitive $F(x)$ de $f(x)$ sur $[a, b]$ (la constante $C$ peut être choisie égale à 0 car elle s'annule dans la soustraction).
Écrire la notation entre crochets $[F(x)]_a^b$.
Calculer la différence $F(b) - F(a)$ et simplifier l'expression numérique obtenue.

Exemple
Calculer l'intégrale définie suivante : $I = \int_1^3 (3x^2 - 2x + 1)\,dx$.

Corrigé pas à pas
1. Trouvons une primitive de $f(x) = 3x^2 - 2x + 1$ :
$$F(x) = x^3 - x^2 + x$$
2. Appliquons la formule fondamentale :
$$I = \left[ x^3 - x^2 + x \right]_1^3$$
3. Évaluons aux bornes $x = 3$ et $x = 1$ :
$$F(3) = 3^3 - 3^2 + 3 = 27 - 9 + 3 = 21$$
$$F(1) = 1^3 - 1^2 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$$
4. Calculons la différence :
$$I = F(3) - F(1) = 21 - 1 = 20$$

Erreurs fréquentes
Inverser les bornes lors de l'évaluation finale et calculer $F(a) - F(b)$ au lieu de $F(b) - F(a)$.
Confondre l'intégrale $\int_a^b f(x)\,dx$ (qui est un nombre réel pouvant être négatif) avec l'aire géométrique (qui est toujours positive ; si la fonction est négative, l'aire vaut $-\int_a^b f(x)\,dx$).
Oublier de vérifier la continuité de la fonction sur le segment $[a, b]$ avant d'appliquer la formule de Newton-Leibniz.

Reconnaître et intégrer la forme u'(x) · [u(x)]^n

1. Identifier dans l'expression à intégrer une fonction composée $u(x)$ élevée à une puissance $n$ (avec $n \neq -1$).
2. Calculer la dérivée $u'(x)$ et vérifier si elle apparaît en facteur dans l'intégrande (éventuellement à un coefficient multiplicatif constant près).
3. Ajuster la constante multiplicative si nécessaire pour faire apparaître exactement $u'(x) \cdot [u(x)]^n$.
4. Appliquer la règle de primitivation : $\int u'(x) \cdot [u(x)]^n\,dx = \frac{[u(x)]^{n+1}}{n+1} + C$.

Exemple
Déterminer une primitive sur $\mathbb{R}$ de la fonction $h(x) = 2x(x^2 + 1)^4$.

Corrigé pas à pas
1. Posons $u(x) = x^2 + 1$. Sa dérivée est $u'(x) = 2x$.
2. L'expression s'écrit exactement sous la forme $u'(x) \cdot [u(x)]^4$ avec $n = 4$.
3. La formule donne directement :
$$H(x) = \frac{[u(x)]^{4+1}}{4+1} + C = \frac{(x^2 + 1)^5}{5} + C$$
Une primitive est donc $H(x) = \frac{1}{5}(x^2 + 1)^5$.

Calculer l'aire comprise entre deux courbes

1. Déterminer les abscisses des points d'intersection des deux courbes en résolvant l'équation $f(x) = g(x)$ sur l'intervalle considéré.
2. Comparer les positions relatives des courbes en étudiant le signe de la différence $f(x) - g(x)$ sur chaque intervalle délimité par les intersections.
3. Exprimer l'aire sous forme d'intégrale : si $f(x) \ge g(x)$ sur $[a, b]$, l'aire vaut $\mathcal{A} = \int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$.
4. Calculer l'intégrale définie à l'aide des primitives.

Exemple
Calculer l'aire du domaine délimité par la parabole $f(x) = -x^2 + 4$ et la droite $g(x) = 0$ (l'axe des abscisses) sur l'intervalle où $f(x) \ge 0$.

Corrigé pas à pas
1. Trouvons les intersections : $-x^2 + 4 = 0 \iff x^2 = 4 \iff x = -2$ ou $x = 2$.
2. Sur $[-2, 2]$, la fonction $f(x) = 4 - x^2$ est positive ($f(x) \ge g(x)$).
3. L'aire $\mathcal{A}$ s'exprime par l'intégrale :
$$\mathcal{A} = \int_{-2}^2 (4 - x^2)\,dx$$
4. Déterminons une primitive : $F(x) = 4x - \frac{x^3}{3}$.
5. Calculons la valeur :
$$\mathcal{A} = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^2 = \left( 4(2) - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right)$$
$$\mathcal{A} = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right) = \frac{16}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3}$$

Primitives usuelles de référence

• $f(x) = k \implies F(x) = kx + C$
• $f(x) = x^n \implies F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$
• $f(x) = \frac{1}{x} \implies F(x) = \ln|x| + C \quad (x \neq 0)$
• $f(x) = e^x \implies F(x) = e^x + C$
• $f(x) = \cos(x) \implies F(x) = \sin(x) + C$
• $f(x) = \sin(x) \implies F(x) = -\cos(x) + C$

Formules d'intégration et propriétés fondamentales

• Linéarité : $\int_a^b (\alpha f(x) + \beta g(x))\,dx = \alpha \int_a^b f(x)\,dx + \beta \int_a^b g(x)\,dx$
• Relation de Chasles : $\int_a^c f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx + \int_b^c f(x)\,dx$
• Forme composée : $\int u'(x) [u(x)]^n\,dx = \frac{[u(x)]^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$
• Forme exponentielle : $\int u'(x) e^{u(x)}\,dx = e^{u(x)} + C$
• Forme logarithmique : $\int \frac{u'(x)}{u(x)}\,dx = \ln|u(x)| + C$