Statistiques et probabilités : Analyse et Modélisation Aléatoire

Analyse descriptive de séries statistiques

Les statistiques descriptives constituent une branche des mathématiques visant à collecter, organiser, synthétiser et présenter des données afin d'en extraire des informations pertinentes. Une population désigne l'ensemble des individus ou objets étudiés, tandis qu'un échantillon en est un sous-ensemble représentatif. La variable statistique est la caractéristique étudiée sur cette population. Elle peut être :
• Quantitative : ses valeurs sont numériques et mesurables.
• Discrète : prend des valeurs isolées (ex: nombre d'enfants).
• Continue : peut prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle (ex: taille, poids).
• Qualitative : ses valeurs sont des catégories ou des modalités (ex: couleur des yeux, profession).

Pour caractériser une série statistique, on utilise des indicateurs de position (qui décrivent le centre des données) et des indicateurs de dispersion (qui décrivent l'étalement des données).

Méthode
1. Organisation des données : Pour une série de données brutes, il est souvent utile de les classer par ordre croissant. Pour des séries plus importantes ou groupées, un tableau de fréquences (absolues et relatives) est indispensable.
2. Calcul des indicateurs de position :
• Moyenne arithmétique ($\bar{x}$ ou $\mu$) : Somme de toutes les valeurs divisée par le nombre de valeurs. Pour une série de $n$ valeurs $x_i$, $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$. Pour des données groupées avec fréquences $f_i$ ou effectifs $n_i$, $\bar{x} = \sum x_i f_i = \frac{\sum x_i n_i}{\sum n_i}$.
• Médiane ($Me$) : Valeur qui partage la série ordonnée en deux parties égales (50% des valeurs sont inférieures ou égales à la médiane, 50% sont supérieures ou égales). Si $n$ est impair, la médiane est la valeur centrale. Si $n$ est pair, elle est la moyenne des deux valeurs centrales.
• Mode : Valeur ou classe de valeurs qui apparaît le plus fréquemment dans la série.
3. Calcul des indicateurs de dispersion :
• Étendue : Différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la série.
• Quartiles ($Q_1$, $Q_2$, $Q_3$) : Trois valeurs qui partagent la série ordonnée en quatre parties égales. $Q_1$ est la valeur pour laquelle 25% des données lui sont inférieures ou égales, $Q_2$ est la médiane, et $Q_3$ est la valeur pour laquelle 75% des données lui sont inférieures ou égales.
• Intervalle interquartile ($IQR$) : $IQR = Q_3 - Q_1$. Il représente l'étendue des 50% des données centrales.
• Variance ($\sigma^2$) : Mesure la dispersion des données autour de la moyenne. $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$. Une formule de calcul plus pratique est $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - (\bar{x})^2$.
• Écart-type ($\sigma$) : Racine carrée de la variance. Il est exprimé dans la même unité que les données, ce qui le rend plus interprétable que la variance. $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$.
4. Représentations graphiques :
• Histogramme : Pour les variables quantitatives continues groupées en classes. Les aires des rectangles sont proportionnelles aux fréquences des classes.
• Diagramme en boîte (ou boîte à moustaches) : Représentation visuelle des cinq nombres résumés (minimum, $Q_1$, médiane, $Q_3$, maximum), permettant d'apprécier la position et la dispersion des données, ainsi que la présence de valeurs extrêmes.

Exemple
Un groupe d'étudiants a obtenu les notes suivantes (sur 20) à une évaluation : 12, 15, 8, 18, 10, 14, 16, 12, 9, 13.
Calculez la moyenne, la médiane, l'étendue, les quartiles $Q_1$ et $Q_3$, la variance et l'écart-type de cette série de notes.

Corrigé pas à pas
Commençons par ordonner la série de notes :
8, 9, 10, 12, 12, 13, 14, 15, 16, 18.
Le nombre de valeurs est $n=10$.

1. Moyenne arithmétique :
$\bar{x} = \frac{8+9+10+12+12+13+14+15+16+18}{10} = \frac{127}{10} = 12,7$.
La moyenne des notes est de 12,7.

2. Médiane ($Me$) :
Comme $n=10$ est un nombre pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales. Les valeurs centrales sont la 5e et la 6e valeur de la série ordonnée.
5e valeur : 12
6e valeur : 13
$Me = \frac{12+13}{2} = 12,5$.
La médiane des notes est de 12,5.

3. Étendue :
Étendue = Valeur maximale - Valeur minimale = $18 - 8 = 10$.

4. Quartiles ($Q_1$ et $Q_3$) :
• $Q_1$ : Correspond à la valeur de rang $\frac{n}{4} = \frac{10}{4} = 2,5$. On prend la 3e valeur de la série ordonnée.
$Q_1 = 10$.
• $Q_3$ : Correspond à la valeur de rang $\frac{3n}{4} = \frac{3 \times 10}{4} = 7,5$. On prend la 8e valeur de la série ordonnée.
$Q_3 = 15$.
L'intervalle interquartile est $IQR = Q_3 - Q_1 = 15 - 10 = 5$.

5. Variance ($\\sigma^2$) :
Nous utilisons la formule $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$.
$\sum x_i^2 = 8^2+9^2+10^2+12^2+12^2+13^2+14^2+15^2+16^2+18^2$
$= 64+81+100+144+144+169+196+225+256+324 = 1703$.
$\sigma^2 = \frac{1703}{10} - (12,7)^2 = 170,3 - 161,29 = 9,01$.
La variance est de 9,01.

6. Écart-type ($\sigma$) :
$\sigma = \sqrt{9,01} \approx 3,0017$.
L'écart-type est d'environ 3,00.

Erreurs fréquentes
Confondre la moyenne et la médiane, qui sont des indicateurs de position mais ne mesurent pas la même chose (la moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane non).
Oublier d'ordonner la série de données avant de calculer la médiane ou les quartiles.
Interpréter la variance directement sans prendre sa racine carrée (l'écart-type est dans la même unité que les données, ce qui facilite son interprétation).
Ne pas comprendre que les quartiles divisent la série en quatre parties, et non pas que $Q_1$ est la première valeur, $Q_2$ la deuxième, etc.

Introduction aux Probabilités

Les probabilités permettent de modéliser et de quantifier l'incertitude liée aux phénomènes aléatoires. Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat ne peut être prédit avec certitude, même si l'on connaît toutes les conditions initiales (ex: lancer un dé, tirer une carte).
L'univers (noté $\Omega$) est l'ensemble de tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire. Chaque résultat possible est appelé événement élémentaire.
Un événement est un sous-ensemble de l'univers. Il peut être :
• Événement impossible ($\emptyset$) : ne contient aucun résultat.
• Événement certain ($\Omega$) : contient tous les résultats possibles.
• Événement contraire ($A^c$ ou $\bar{A}$) : ensemble des résultats de $\Omega$ qui ne sont pas dans l'événement $A$.

La probabilité d'un événement $A$, notée $P(A)$, est une mesure numérique de la 'chance' que cet événement se produise. Elle est toujours un nombre compris entre 0 et 1 (ou 0% et 100%).

Méthode
1. Identifier l'expérience aléatoire : Comprendre le contexte et ce qui est observé.
2. Déterminer l'univers ($\Omega$) : Lister tous les résultats possibles de l'expérience aléatoire. Le nombre d'éléments de l'univers est appelé son cardinal, noté $\text{card}(\Omega)$.
3. Définir l'événement $A$ : Identifier les résultats qui constituent l'événement dont on cherche la probabilité. Déterminer son cardinal, noté $\text{card}(A)$.
4. Calculer la probabilité en situation d'équiprobabilité : Si tous les événements élémentaires ont la même chance de se produire (situation d'équiprobabilité), la probabilité d'un événement $A$ est donnée par la formule de Laplace :
$$P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$$
5. Appliquer les propriétés des probabilités :
• Pour tout événement $A$, $0 \le P(A) \le 1$.
• $P(\Omega) = 1$ (probabilité de l'événement certain).
• $P(\emptyset) = 0$ (probabilité de l'événement impossible).
• $P(A^c) = 1 - P(A)$ (probabilité de l'événement contraire).
• Probabilité d'une union : Pour deux événements $A$ et $B$, $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
• Événements incompatibles (ou mutuellement exclusifs) : Si $A$ et $B$ ne peuvent pas se produire simultanément (leur intersection est vide, $A \cap B = \emptyset$), alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
• Événements indépendants : Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si la réalisation de l'un n'affecte pas la probabilité de l'autre. Dans ce cas, $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
6. Utiliser des outils de dénombrement : Pour des situations plus complexes, des techniques de dénombrement (permutations, arrangements, combinaisons) peuvent être nécessaires pour calculer $\text{card}(A)$ et $\text{card}(\Omega)$.

Exemple
On lance un dé équilibré à six faces numérotées de 1 à 6.
• Quel est l'univers $\Omega$ ?
• Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?
• Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre supérieur à 4 ?
• Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ET supérieur à 4 ?
• Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair OU supérieur à 4 ?

Corrigé pas à pas
1. Univers ($\Omega$) :
L'ensemble de tous les résultats possibles est $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Le cardinal de l'univers est $\text{card}(\Omega) = 6$.

2. Probabilité d'obtenir un nombre pair :
Soit $A$ l'événement 'obtenir un nombre pair'.
$A = \{2, 4, 6\}$.
$\text{card}(A) = 3$.
Comme le dé est équilibré, nous sommes en situation d'équiprobabilité.
$P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5$.

3. Probabilité d'obtenir un nombre supérieur à 4 :
Soit $B$ l'événement 'obtenir un nombre supérieur à 4'.
$B = \{5, 6\}$.
$\text{card}(B) = 2$.
$P(B) = \frac{\text{card}(B)}{\text{card}(\Omega)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0,333$.

4. Probabilité d'obtenir un nombre pair ET supérieur à 4 :
Ceci correspond à l'événement $A \cap B$ (intersection de $A$ et $B$).
$A \cap B = \{x \in \Omega \mid x \text{ est pair ET } x > 4\} = \{6\}$.
$\text{card}(A \cap B) = 1$.
$P(A \cap B) = \frac{1}{6}$.

5. Probabilité d'obtenir un nombre pair OU supérieur à 4 :
Ceci correspond à l'événement $A \cup B$ (union de $A$ et $B$).
On peut utiliser la formule $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \approx 0,667$.

Alternativement, on peut lister les éléments de $A \cup B$ :
$A \cup B = \{2, 4, 6, 5\} = \{2, 4, 5, 6\}$.
$\text{card}(A \cup B) = 4$.
$P(A \cup B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.

Erreurs fréquentes
Confondre l'union ($A \cup B$, 'A ou B') et l'intersection ($A \cap B$, 'A et B') d'événements.
Oublier de soustraire $P(A \cap B)$ lors du calcul de $P(A \cup B)$ si les événements ne sont pas incompatibles.
Mal identifier l'univers ou mal compter les cas favorables, surtout dans des situations avec des tirages successifs ou des ordres.
Ne pas vérifier que la probabilité calculée est bien comprise entre 0 et 1.

Calculer les indicateurs de position et de dispersion

1. 1. Ordonner la série : Si les données sont brutes, classez-les par ordre croissant. Cela est crucial pour la médiane et les quartiles.
2. 2. Calculer la moyenne : Additionnez toutes les valeurs et divisez par le nombre total de valeurs ($n$). Pour des données groupées, multipliez chaque valeur (ou centre de classe) par son effectif, additionnez les produits, puis divisez par l'effectif total.
3. 3. Déterminer la médiane :
4. • Si $n$ est impair, la médiane est la valeur de rang $\frac{n+1}{2}$.
5. • Si $n$ est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, de rangs $\frac{n}{2}$ et $\frac{n}{2}+1$.
6. 4. Déterminer les quartiles ($Q_1$ et $Q_3$) :
7. • $Q_1$ est la valeur pour laquelle au moins 25% des données lui sont inférieures ou égales. Son rang est généralement $\frac{n}{4}$ (si le résultat est décimal, on arrondit à l'entier supérieur pour trouver le rang de la valeur).
8. • $Q_3$ est la valeur pour laquelle au moins 75% des données lui sont inférieures ou égales. Son rang est généralement $\frac{3n}{4}$ (si le résultat est décimal, on arrondit à l'entier supérieur pour trouver le rang de la valeur).
9. 5. Calculer l'étendue : Soustrayez la valeur minimale de la valeur maximale de la série.
10. 6. Calculer la variance et l'écart-type :
11. • Calculez la moyenne ($\bar{x}$).
12. • Pour chaque valeur $x_i$, calculez l'écart au carré $(x_i - \bar{x})^2$.
13. • Faites la somme de tous ces écarts au carré et divisez par $n$ pour obtenir la variance ($\sigma^2$).
14. • Prenez la racine carrée de la variance pour obtenir l'écart-type ($\sigma$). Une formule alternative pour la variance est $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$.

Exemple
Calculez la moyenne, la médiane, $Q_1$, $Q_3$ et l'écart-type de la série de données : 5, 2, 8, 3, 10, 7, 4.

Corrigé pas à pas
1. Ordonner la série : 2, 3, 4, 5, 7, 8, 10. ($n=7$)

2. Calculer la moyenne :
$\bar{x} = \frac{2+3+4+5+7+8+10}{7} = \frac{39}{7} \approx 5,57$.

3. Déterminer la médiane :
$n=7$ est impair. Le rang de la médiane est $\frac{7+1}{2} = 4$.
La 4e valeur de la série ordonnée est 5. Donc, $Me = 5$.

4. Déterminer les quartiles :
• $Q_1$ : Rang $\frac{7}{4} = 1,75$. On prend la 2e valeur : $Q_1 = 3$.
• $Q_3$ : Rang $\frac{3 \times 7}{4} = 5,25$. On prend la 6e valeur : $Q_3 = 8$.

5. Calculer l'écart-type :
Utilisons la formule $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - (\bar{x})^2$.
$\sum x_i^2 = 2^2+3^2+4^2+5^2+7^2+8^2+10^2 = 4+9+16+25+49+64+100 = 267$.
$\sigma^2 = \frac{267}{7} - (\frac{39}{7})^2 = \frac{267}{7} - \frac{1521}{49} = \frac{1869 - 1521}{49} = \frac{348}{49} \approx 7,102$.
$\sigma = \sqrt{\frac{348}{49}} \approx \sqrt{7,102} \approx 2,665$.

Calculer la probabilité d'un événement simple

1. 1. Définir l'expérience aléatoire : Comprenez clairement ce qui se passe et quels sont les résultats possibles.
2. 2. Déterminer l'univers ($\Omega$) : Listez tous les résultats possibles de l'expérience. Calculez le nombre total de ces résultats, $\text{card}(\Omega)$.
3. 3. Définir l'événement $A$ : Identifiez les résultats qui correspondent à l'événement dont vous voulez calculer la probabilité. Calculez le nombre de ces résultats, $\text{card}(A)$.
4. 4. Vérifier l'équiprobabilité : Assurez-vous que chaque résultat élémentaire a la même chance de se produire. Si ce n'est pas le cas, cette méthode ne s'applique pas directement (il faudrait utiliser des probabilités pondérées).
5. 5. Appliquer la formule de Laplace : Calculez la probabilité de l'événement $A$ en utilisant la formule :
   $$P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$$
6. 6. Simplifier la fraction : Réduisez la fraction à sa forme la plus simple, ou convertissez-la en décimal ou pourcentage si demandé.

Exemple
On tire une carte d'un jeu de 32 cartes (7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As pour chaque couleur : pique, cœur, carreau, trèfle).
Quelle est la probabilité de tirer :
• Un As ?
• Une carte de cœur ?

Corrigé pas à pas
1. Définir l'expérience aléatoire : Tirer une carte d'un jeu de 32 cartes.

2. Déterminer l'univers ($\Omega$) :
Le jeu contient 32 cartes. Donc, $\text{card}(\Omega) = 32$.

3. Définir les événements et calculer leurs probabilités :
• Événement 'tirer un As' (noté $A$) :
Il y a 4 As dans un jeu de 32 cartes (As de pique, de cœur, de carreau, de trèfle).
$\text{card}(A) = 4$.
$P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$.
• Événement 'tirer une carte de cœur' (noté $C$) :
Il y a 8 cartes de cœur dans un jeu de 32 cartes (7, 8, 9, 10, Valet, Dame, Roi, As de cœur).
$\text{card}(C) = 8$.
$P(C) = \frac{\text{card}(C)}{\text{card}(\Omega)} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$.

Statistiques descriptives

• Moyenne : $\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$
• Médiane : Valeur centrale de la série ordonnée.
• Mode : Valeur la plus fréquente.
• Étendue : Max - Min.
• Quartiles : $Q_1$ (25%), $Q_2=Me$ (50%), $Q_3$ (75%).
• Variance : $\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2 - (\bar{x})^2$
• Écart-type : $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$

Probabilités fondamentales

• Probabilité d'un événement $A$ (équiprobabilité) : $P(A) = \frac{\text{card}(A)}{\text{card}(\Omega)}$
• Propriétés :
• • $0 \le P(A) \le 1$
• • $P(\Omega) = 1$, $P(\emptyset) = 0$
• • $P(A^c) = 1 - P(A)$
• • $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
• • Si $A$ et $B$ sont incompatibles ($A \cap B = \emptyset$) : $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$
• • Si $A$ et $B$ sont indépendants : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$